Integral $\int_0^\infty \log(1+x^2)\frac{\cosh \pi x +\pi x\sinh \pi x}{\cosh^2 \pi x}\frac{dx}{x^2}=4-\pi$ ?

Question

Hola estoy buscando una solución para probar esto. $$ I:=\int_0^\infty \log(1+x^2)\frac{\cosh \pi x +\pi x\sinh \pi x}{\cosh^2 \pi x}\frac{dx}{x^2}=4-\pi. $$ Éste está relacionado con Integral $\int_0^\infty \log(1+x^2)\frac{\cosh{\frac{\pi x}{2}}}{\sinh^2{\frac{\pi x}{2}}}\mathrm dx=2-\frac{4}{\pi}$ ¡que la comunidad unida parecía resolver!
Intenté escribir $$ I=\int_0^\infty \log(1+x^2)\frac{dx}{x^2\cosh \pi x}+\int_0^\infty \log(1+x^2)\frac{\pi x\tanh \pi x}{\cosh \pi x }\frac{dx}{x^2} $$ pero no está tan claro ahora que tengo dos integrales que resolver. No estaba seguro de cómo la integración por partes me daría una integral más clara ya que los términos no se limpian aquí como en la anterior. No estoy seguro de qué otra forma

Introducir algo como $I(\alpha), I'(\alpha)$ en esta situación ayudó pero no mucho después de esto: $$ I(\alpha)=\int_0^\infty \log(1+\alpha x^2) \frac{\cosh \pi x +\pi x\sinh \pi x}{\cosh^2 \pi x}\frac{dx}{x^2}, \frac{dI}{d\alpha}= $$ $$ \int_0^\infty \frac{dx}{1+\alpha x^2}\frac{\cosh \pi x +\pi x\sinh \pi x}{\cosh^2 \pi x}=\int_0^\infty \frac{dx}{(1+\alpha x^2)\cosh \pi x}+\pi\int_0^\infty \frac{dx}{1+\alpha x^2}\frac{x\tanh \pi x}{\cosh \pi x} $$ Gracias

Answer 1

Esta integral se puede realizar utilizando los métodos de Fourier. Primero hay que tener en cuenta que

$$\frac{\cosh{\pi x} + \pi x \sinh{\pi x}}{x^2 \cosh^2{\pi x}} = -\frac{d}{dx} \frac1{x \cosh{\pi x}}$$

Luego integrar por partes para obtener que

$$I = \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{\operatorname*{sech}{\pi x}}{1+x^2}$$

Esto puede evaluarse utilizando la igualdad de Parseval, porque la transformada de Fourier de cada factor es bien conocida. Así pues,

$$I = \frac1{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} dk \, \pi \, e^{-|k|} \operatorname*{sech}{(k/2)} = 2 \int_0^{\infty} dk \frac{e^{-k}}{e^{k/2}+e^{-k/2}}$$

(Para una derivación del FT del término sech, véase esta respuesta .) Esta integral se evalúa fácilmente expandiendo el denominador:

$$I = 2 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^{\infty} dk \, e^{-(n+3/2) k} = 4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+3} = 4-\pi$$

ADDENDUM

Se me ocurrió que hay una forma mucho más directa de evaluar la integral obtenida mediante Parseval:

$$I = 2 \int_0^{\infty} dk \frac{e^{-k}}{e^{k/2}+e^{-k/2}} = 4 \int_0^1 du \frac{u}{u+1/u} \\ = 4 \int_0^1 du \left (1-\frac1{1+u^2} \right ) = 4 \left (1-\frac{\pi}{4} \right )=4-\pi$$

Answer 2

Presentaré aquí una solución alternativa.

Denotemos, para $a$ entre $-\pi$ y $\pi$ inclusive, $$F(a)=\int_{-\infty}^{\infty} {\cosh(ax)\over {\cosh(\pi x)}}{1\over {1+x^2}}dx$$ entonces por diferenciación bajo el signo integral, que se justifica fácilmente por convergencia uniforme, tenemos $$F''(a)+F'(a)=\int_{-\infty}^{\infty} {\cosh(ax)\over {\cosh(\pi x)}}dx = \sec {a\over 2}$$ Lo anterior puede evaluarse mediante técnicas estándar de análisis complejo.

Tenga en cuenta que $F(\pi)=\pi$ y $F'(0)=0$

Estas condiciones de valor inicial, junto con la ecuación diferencial anterior, pueden resolverse con variación de parámetros, obteniéndose $$F(a)=4\cos{a\over 2}-\pi\cos a-2\sin a\ln\tan({a\over 4}+{\pi\over 4})$$

Esto da $$F(0)=\int_{-\infty}^{\infty} {1\over {\cosh(\pi x)}}{1\over {1+x^2}}dx=4-\pi$$ que es lo mismo que la pregunta original según la respuesta de Ron Gordon.