Deje $n$ ser un entero impar positivo y deje $A,B\in M_n(R)$ tal que $A^2=B^2=I$. Demostrar que $A$ $B$ tienen en común un vector propio.
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Para $M=A$ o $B$, definir $$V_M^\pm=\{v\in\Bbb R^n:v\pm Mv\}.$$ Por definición, $V_M^\pm$ son subespacios lineales de $\Bbb R^n$. De $M^2=I$ sabemos que $$w=v\pm Mv\in V_M^\pm \Rightarrow Mw=\pm w,$$ es decir, $V_M^+$(resp. $V_M^-$ ) $\{0\}$ o el subespacio propio de $M$ asociado al autovalor $+1$(resp. $-1$), y, en particular,$V_M^+\cap V_M^-=\{0\}$. Por otra parte, a partir de $$v=\frac{1}{2}(v+Mv)+\frac{1}{2}(v-Mv),\quad\forall v\in \Bbb R^n,$$ sabemos que $$V_M^+\oplus V_M^-=\Bbb R^n\Rightarrow \dim V_M^++\dim V_M^-=n.$$ Desde $n$ es impar, se deduce que uno de $V_M^\pm$ tiene dimensión estrictamente mayor que $\frac{n}{2}$, y se denota como $V_M$. Por lo tanto,
$$\dim V_A +\dim V_B>\frac{n}{2}+\frac{n}{2}=n\Rightarrow V_A\cap V_B\ne \{0\},$$ lo que implica que $V_A\cap V_B$ contiene algunas común autovector de a$A$$B$.
Chris Ballance
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Por la condición dada, $(AB)(BA) = I$. Por lo tanto, $AB$ $BA$ han recíproca de los autovalores. Sin embargo, en general, $AB$ $BA$ siempre tienen los mismos espectros. Como $n$ es impar, se deduce que algunos autovalor $\lambda$ $AB$ pertenece a $\{-1,1\}$. Deje $x$ correspondiente vector propio, es decir,$ABx=\lambda x$. Multiplicar ambos lados por $A$, obtenemos $y:=Bx=\lambda Ax$ y a su vez $By=\lambda Ay=x$. Por lo tanto $B(x\pm y)=y\pm x$$A(x\pm y)=\lambda(y\pm x)$. Dado que al menos uno de $x+y$ $x-y$ es distinto de cero, la afirmación de la siguiente manera.
Edit. En general, si $n$ es impar, $F$ es un campo y $A,B\in M_n(F)$ son aniquilados por algunos monic polinomio $(z-a)(z-b)=0$$a\ne b$, observando $\big(z-\frac{a+b}{2}\big)^2=\big(\frac{a-b}{2}\big)^2$ y por lo tanto la definición de $\widetilde{A}=\frac2{a-b}\left(A-\frac{a+b}2I\right)$$\widetilde{B}=\frac2{a-b}\left(B-\frac{a+b}2I\right)$,$\widetilde{A}^2=\widetilde{B}^2=I$. Por lo tanto, por nuestro anterior argumento (con extensión a la clausura algebraica de $F$ si es necesario), $\widetilde{A}$ $\widetilde{B}$ tienen en común un vector propio. Desde $A,B$ son afines transforma de, respectivamente,$\widetilde{A},\widetilde{B}$, llegamos a la conclusión de que $A$ $B$ también comparten un vector propio.
