Modulo difeomorfismos, ¿cuáles son todos los posibles campos vectoriales no evanescentes en el dos-toro?
Esto se acerca a una respuesta, pero no resuelve completamente la cuestión.
Clasificar los campos vectoriales no evanescentes en un toroide es al menos tan complicado como clasificar los campos lineales (pasar al subfondo de $T(T^2)$ que abarca el campo vectorial) hasta el difeomorfismo. No sé si estos problemas son equivalentes. Tengo la vaga sensación de que la respuesta es sí, pero no hay ninguna razón real para pensar que sí.
Como los campos lineales son unidimensionales, son integrables. Es decir, un campo de líneas en el toro es lo mismo que una foliación de codimensión 1.
En particular, existen innumerables foliaciones diferentes hasta el difeomorfismo; las foliaciones de Kronecker del toro con ángulo irracional $\theta$ son raramente difeomorfo. Véase aquí . En particular, cada $T_\theta$ sólo puede ser difeomorfo a otros contables.
Por el teorema 4.2 aquí tenemos una idea decente de cómo son los campos de línea en Tori. Pensemos en el caso 2); el caso 1) es bastante sencillo.
Hay un componente Reeb. Podemos elegir un difeomorfismo para que esta componente de Reeb sea alguna componente de Reeb estándar (digamos que la componente de Reeb es $[0,1/2] \times [0,1]$ pensando en el toro como un cociente del cuadrado unitario $[0,1] \times [0,1]$ . Ahora tenemos que pensar en las foliaciones del anillo $[1/2,1] \times [0,1]/\sim$ ; ese mismo enlace dice que son uniones de componentes Reeb y suspensiones de foliaciones. Esta es probablemente la mejor clasificación que vas a conseguir.
(Uno debe estar un poco preocupado por la suavidad aquí cuando estamos haciendo difeomorfismos cerca de los límites de cada uno de estos ánulos. No sé si hay una manera de asegurarse de que estos difeomorfismos son realmente suaves en todas partes).
¿Dice realmente ese enlace que diferentes foliaciones de Kronecker son difeomorfas (aparte del caso obvio de que las pendientes estén en la misma órbita)?
@MarianoSuárez-Alvarez ¡He olvidado la palabra "raramente"! Probablemente una palabra importante a recordar aquí. Gracias.
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Aquí hay una conjetura: Digamos que una curva de viento $n$ veces en la dirección de la latitud y $m$ tiempos en las direcciones de longitud y $\gcd(n,m)=1$ . Espero que haya una forma de peinar el toro paralelo a esa curva. Y tal vez no haya otras (en las que consideremos dos equivalentes si una homotopía o algo así traslada una a la otra). ${}\qquad{}$
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No estoy seguro de que quieras hablar de difeomorfismos modulares. La cuestión se convierte entonces en una cuestión de sistemas dinámicos, que presumiblemente será mucho más difícil de responder. Si sólo quieres módulo de homotopía, porque el haz tangente del toro es trivial, estamos contando clases de homotopía de mapas $T^2 \to (\Bbb R^2 \setminus \{0\})$ . Esto está en biyección con $\text{Hom}(H_1(T^2),\Bbb Z) \cong \Bbb Z^2$ .
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Creo que la pregunta debería preguntar por el módulo de difeomorfismo isotópico a la identidad, no por el módulo de difeomorfismo. Sospecho que todos son iguales hasta el difeomorfismo.
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Realmente quiero saber "módulo difeomorfismo", pero si "módulo homotopía" es más interesante por favor siéntase libre de añadir una respuesta a este caso también :-)
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Creo que el difeomorfismo del módulo es más interesante. Pero no puedo decir nada al respecto.
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No sé a qué te refieres con dos toros un compacto cerrado de género 2 ¿no es así?
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El toroide bidimensional. Una superficie de género uno.