Supongamos que el algebraicas grupo $G$ $k$ actúa sobre el espacio vectorial $V$, es decir, que
no hay mapa algebraico de los grupos de $G \to GL(V).$ Pasando a álgebras de Lie (= Zariski tangente
espacio para la identidad) es un functor, y así obtenemos un mapa sobre álgebras de Lie
$\mathfrak g \to End(V),$ que es la correspondiente Mentira álgebra representación.
Otra manera de hacer esto, más cerca de la diferencial de punto de vista (y que va a
necesidad de todos modos para identificar la Mentira de álgebra de $GL(V)$$End(V)$) es la siguiente:
$G(k[\epsilon])$ actúa en $V[\epsilon]$ (tomar el doble número de valores de los puntos de la
original de morfismos). En particular, el Zariski el espacio de la tangente a la identidad
(que por un lado es $\mathfrak g$, por definición, y en la otra mano
es el subgrupo de $G(k[\epsilon])$ compuesto de elementos de la asignación a la identidad
en virtud de la especialización $\epsilon \mapsto 0$) actúa en $V[\epsilon]$ por endomorphisms
que reducir a la identidad después de la configuración de $\epsilon = 0$. Se verifica que tales
un mapa es de la forma $v \mapsto v + L(v)\epsilon,$ donde $L \in End(V)$.
Envío a $L$ da la necesaria mapa de $\mathfrak g \to End(V)$.
(Nota: tomamos $g \in G(k[\epsilon])$ mentir sobre la identidad, la aplicación de
la representación $\rho$ conseguir $\rho(g)$, formando entonces el cociente de la diferencia
$(\rho(g) - 1)/\epsilon.$ Esperemos que la conexión con la diferenciación es clara.)
Uno tiene que ser un poco cauteloso acerca de volver de$\mathfrak{g}$$G$,
desde que existen los siguientes sutilezas que cualquier enfoque que se ha de tener en cuenta:
el campo $k$ es mejor tener char. 0; el grupo $G$ mejor que ser algebraicas lineales,
y además, ya sea nilpotent, o simplemente conectado semi-simple; y la representación
tiene mejor ser finito-dimensional.
Uno podría tratar el siguiente: tomar un número finito de dimensiones representación $V$ de
$\mathfrak{g}$; ampliarlo a un representante. de la universal que envuelve álgebra $U(\mathfrak{g})$;
utilice el hecho de que $V$ es finito-dimensional para extender la rep n'a un cierto finalización
de $U(\mathfrak{g})$; dentro de esta conclusión, la mirada en el grupo-como elementos dentro de la
canónica co-multiplicación en $U(\mathfrak{g})$; muestran que estos elementos forman un algebraicas lineales grupo $G$ con la Mentira de álgebra $\mathfrak g$. (La intuición es que podemos mapa
$\mathfrak{g}$ a un bien elegido finalización de $U(\mathfrak{g})$ a través de una versión formal
de la exponencial mapa).
[Esta última sugerencia se basa en una discusión en Serre la Mentira de álgebras/Mentira grupos de libro, pero no recuerdo
si él cuidadosamente trata este algebraicas contexto de grupo; puede ser que él está más bien centrado en la Mentira de configuración del grupo.]
