¿Cómo se puede cambiar entre las representaciones de una expresión algebraica de grupo y su Mentira de álgebra?

Question

Estoy interesado en las estructuras de categorías como $Rep(GL_n), Rep(SL_n)$, etc. de expresiones algebraicas de una expresión algebraica de grupo. Entiendo que debe haber algún tipo de relación entre estos y las categorías de representaciones de la correspondiente álgebras de Lie. Sin embargo, no es tan intuitivo para mí lo que está pasando aquí, como en el caso de, digamos, una Mentira grupo, tal vez porque la noción de un "vector tangente" es algo diferente.

Entonces, ¿cómo cambiar entre las categorías $Rep(G)$ $Rep(\mathfrak{g})$ $G$ algebraica de grupo y $\mathfrak{g}$ su Mentira álgebra---hay functors en cada dirección? Puede ser usado para probar que $Rep(G)$ es semisimple al $G$ es reductivo? En otra dirección, puede que la estructura de $Rep(\mathfrak{g})$ como se conoce a partir de la teoría de la representación de, digamos, semisimple Mentira álgebras de dar la estructura de $Rep(G)$?

Answer 1

Si $G$ es semisimple simplemente se conecta en característica cero, el diferencial en $1$ da una equivalencia de (tensor) categorías $Rep(G)\to Rep({\mathfrak g})$. Si $G$ no es semisimple, este no es el caso, pero este functor siempre es totalmente fiel (es decir, una equivalencia sobre un total subcategoría) si $G$ está conectado. Lo esencial de la imagen de este functor puede ser descrito de forma explícita. Es decir, considerar el Levi de descomposición ${\mathfrak g}={\mathfrak l}\ltimes {\mathfrak u}$ donde ${\mathfrak l}$ es reductiva y ${\mathfrak u}=Lie(U)$ donde $U$ es el unipotentes radical de $G$. A continuación, la imagen es de esos finitos representaciones tridimensionales de ${\mathfrak g}$ que ${\mathfrak u}$ actos nilpotently, y el de los pesos de las ${\mathfrak l}$ integral (es decir, descender a chartacters de la máxima toro).

Answer 2

Supongamos que el algebraicas grupo $G$ $k$ actúa sobre el espacio vectorial $V$, es decir, que no hay mapa algebraico de los grupos de $G \to GL(V).$ Pasando a álgebras de Lie (= Zariski tangente espacio para la identidad) es un functor, y así obtenemos un mapa sobre álgebras de Lie $\mathfrak g \to End(V),$ que es la correspondiente Mentira álgebra representación.

Otra manera de hacer esto, más cerca de la diferencial de punto de vista (y que va a necesidad de todos modos para identificar la Mentira de álgebra de $GL(V)$$End(V)$) es la siguiente: $G(k[\epsilon])$ actúa en $V[\epsilon]$ (tomar el doble número de valores de los puntos de la original de morfismos). En particular, el Zariski el espacio de la tangente a la identidad (que por un lado es $\mathfrak g$, por definición, y en la otra mano es el subgrupo de $G(k[\epsilon])$ compuesto de elementos de la asignación a la identidad en virtud de la especialización $\epsilon \mapsto 0$) actúa en $V[\epsilon]$ por endomorphisms que reducir a la identidad después de la configuración de $\epsilon = 0$. Se verifica que tales un mapa es de la forma $v \mapsto v + L(v)\epsilon,$ donde $L \in End(V)$.
Envío a $L$ da la necesaria mapa de $\mathfrak g \to End(V)$.

(Nota: tomamos $g \in G(k[\epsilon])$ mentir sobre la identidad, la aplicación de la representación $\rho$ conseguir $\rho(g)$, formando entonces el cociente de la diferencia $(\rho(g) - 1)/\epsilon.$ Esperemos que la conexión con la diferenciación es clara.)

Uno tiene que ser un poco cauteloso acerca de volver de$\mathfrak{g}$$G$, desde que existen los siguientes sutilezas que cualquier enfoque que se ha de tener en cuenta: el campo $k$ es mejor tener char. 0; el grupo $G$ mejor que ser algebraicas lineales, y además, ya sea nilpotent, o simplemente conectado semi-simple; y la representación tiene mejor ser finito-dimensional.

Uno podría tratar el siguiente: tomar un número finito de dimensiones representación $V$ de $\mathfrak{g}$; ampliarlo a un representante. de la universal que envuelve álgebra $U(\mathfrak{g})$; utilice el hecho de que $V$ es finito-dimensional para extender la rep n'a un cierto finalización de $U(\mathfrak{g})$; dentro de esta conclusión, la mirada en el grupo-como elementos dentro de la canónica co-multiplicación en $U(\mathfrak{g})$; muestran que estos elementos forman un algebraicas lineales grupo $G$ con la Mentira de álgebra $\mathfrak g$. (La intuición es que podemos mapa $\mathfrak{g}$ a un bien elegido finalización de $U(\mathfrak{g})$ a través de una versión formal de la exponencial mapa).

[Esta última sugerencia se basa en una discusión en Serre la Mentira de álgebras/Mentira grupos de libro, pero no recuerdo si él cuidadosamente trata este algebraicas contexto de grupo; puede ser que él está más bien centrado en la Mentira de configuración del grupo.]

Answer 3

Hmm. Existe un fácil-a-definir functor $\mathrm{Rep}G\to\mathrm{Rep}\left(\mathrm{Lie}G\right)$, pero no estoy seguro de si es el "estándar" y si es nuevo para usted.

Deje $G$ ser una expresión algebraica de grupo, representado por un álgebra de Hopf $A$ (en realidad, bialgebra es suficiente). Se sabe que la Mentira de álgebra $\mathrm{Lie}G$ puede ser descrito como el álgebra de la Mentira

$\mathrm{Der}_{\varepsilon}\left(A,k\right)=\lbrace d:A\to k\mid d\text{ is a }k\text{-linear map satisfying }d\left(xy\right)=\varepsilon\left(x\right)d\left(y\right)+d\left(x\right)\varepsilon\left(y\right)\text{ for all }x,y\in A\rbrace$.

La Mentira de soporte en este espacio vectorial $\mathrm{Der}_{\varepsilon}\left(A,k\right)$ está dado por $\left[d,e\right]=d\ast e-e\ast d$ donde $\ast$ significa que el producto de convolución en $\mathrm{Hom}_k\left(A,k\right)$.

Ahora, una representación de la algebraicas grupo $G$ es un derecho $A$-comodule $V$. Queremos hacer de $V$ a la izquierda $\mathrm{Der}_{\varepsilon}\left(A,k\right)$-módulo. Esto se hace por

$dv=v_{\left(0\right)}\otimes d\left(v_{\left(1\right)}\right)$ por cada $d\in\mathrm{Der}_{\varepsilon}\left(A,k\right)$$v\in V$.

Estamos utilizando Sweedler la notación aquí.

Esto convierte a cada representación de $G$ en uno de $\mathrm{Der}_{\varepsilon}\left(A,k\right)=\mathrm{Lie}G$. Como en el otro sentido, no creo que siempre se puede hacer.

Answer 4

En primer lugar, vamos a asumir desde el principio que estamos trabajando en característica cero, porque álgebras de Lie no logran captar la información adecuada sobre el grupo lo contrario.

El functor $\operatorname{Lie}: \{\text{affine groups}\} \to \{\text{Lie algebras}\}$ ha dejado adjunto. Este adjunto se envía una Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ para el grupo de $G(\mathfrak{g})$ obtenido por Tannaka la dualidad del tensor de la categoría de representaciones de $\mathfrak{g}$ equipado con los desmemoriados functor a $k$-espacios vectoriales. Creo que, en general, este functor puede comportarse mal, pero para $\mathfrak{g}$ semisimple, $G(\mathfrak{g})$ es el universal conectado con el grupo de Lie álgebra $\mathfrak{g}$, en el sentido de que cualquier otro grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$ es un buen cociente de ella.

Así, vemos que la categoría de representaciones de un semisimple Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ será equivalente a la categoría de representaciones de algún grupo cuyo Mentira álgebra es $\mathfrak{g}$. En general, sin embargo, las representaciones de $G$ sólo va a ser una subcategoría de las representaciones de la $\operatorname{Lie}(G)$ (creo que de $SO(3)$, por ejemplo). Así que incluso en la semisimple caso de que no es un functor de $\operatorname{Rep}(\operatorname{Lie}(G)) \to \operatorname{Rep}(G)$ en general.

Una buena visión general de la Tannakian punto de vista es en este breve artículo por Milne, que describe los resultados que he mencionado anteriormente.

Answer 5

Un punto que parece que no ha sido mencionado (pero está implícito en Pavel de la respuesta) es que el pequeño pregunta que se plantean al final de la pregunta principal, si $\mathrm{Rep}(\mathfrak{g})$ semisimple implica $\mathrm{Rep}(G)$ semisimple, tiene una simple respuesta a pesar de que la mayoría de condiciones técnicas. De hecho, en característica cero es verdadero.

El correspondiente teorema es:

Teorema: Supongamos $k$ tiene de característica cero", $G$ ser conectado a un afín algebraicas $k$-grupo, y vamos a $\mathfrak{g}$ ser su Mentira álgebra. Si $V$ $G$- representación y $W \subset V$ es un subespacio, entonces $W$ $G$- estable si y sólo si es $\mathfrak{g}$-estable.

La prueba para los fieles representaciones es en Humphreys' "Algebraicas Lineales Grupos", Teorema 13.2, y extenderlo a cualquier representación de uno sólo necesita demostrar que la Mentira álgebra es compatible con fibrado productos, que es tautológica. (Posiblemente este resultado debe ser establecida a través de una algebraicamente cerrado de campo; esto es así en el libro, y estoy mal familiarizado con la racionalidad propiedades).

Como consecuencia, $V$ es irreducible o completamente reducible por $G$ si y sólo si es para $\mathfrak{g}$.