Cómo calcular el De Rham cohomology grupo de $3$toro: $T^3$?

Question

¿Cómo puedo calcular la De Rham cohomology grupo de la $3$-torus $T^3$? Aquí $T^3=S^1 \times S^1 \times S^1 $.

El uso de Mayer-Vietoris la secuencia, me puede mostrar que $\dim H_3(T^3)=\dim H_0(T^3)=1$. Pero no sé cómo encontrar a $H_1(T^3)$$H_2(T^3)$.

Answer 1

Cortamos $T^{3}$ en dos partes, cada parte es homotópica a un toro. Uno visualizar teniendo en cuenta las $T^{3}=T^{2}\times \mathbb{S}^{1}$, y las dos partes se $\mathbb{T}^{2}\times I$, respectivamente, con el $I$ saliendo de considerar $\mathbb{S}^{1}$ como el encolado de dos intervalos. La intersección de las dos partes es de nuevo homotópica al toro. Nowe tenemos:

$$\rightarrow H^{2}(X)\rightarrow H^{2}(\mathbb{T}^{2}\times I)\oplus H^{2}(\mathbb{T}^{2}\times I)\rightarrow H^{2}(\mathbb{T}^{2}\times I)\rightarrow H^{3}(X)\rightarrow0$$

Sabemos $H^{2}(\mathbb{T}^{2})=\mathbb{R}^{1}$ a través de la inducción. Así tenemos

$$H^{0}(X)\rightarrow \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\rightarrow H^{1}(X)\rightarrow \mathbb{R}^{4}\rightarrow \mathbb{R}^{2}\rightarrow H^{2}(X)\rightarrow \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\rightarrow0$$

Esto le da a $H^{2}(X)=\mathbb{R}^{3}$ porque el último mapa es un isomorfismo y el mapa de $H^{1}(\mathbb{T}^{2}\times I)\rightarrow H^{2}(X)$ tiene una imagen tridimensional. Considere la posibilidad de un cerrado de una forma$w$$\mathbb{T}^{2}$, si hacemos uso de la partición de la unidad a la que se dividió en dos partes, entonces no importa cuál de las opciones que usamos acabaría con la misma clase en $H^{2}(X)$ si uno piensa geométricamente. Esto, junto con la primera parte nos da $H^{1}(X)=\mathbb{R}^{3}$, $H^{2}(X)=\mathbb{R}^{3}$.