Finito abelian grupos - suma directa de subgrupo cíclico

Question

Deje $G$ ser un número finito de abelian $p$-grupo. Es bastante elemental a ver que si $g \in G$ es un elemento de máxima orden (y, por tanto, su longitud es de un subgrupo cíclico de $G$ de la máxima orden), a continuación, $G$ puede ser escrito como la suma directa de $G=\langle g \rangle \oplus H$ algunos $H \leq G$ (subgrupo de $G$). Para una prueba de ver esto por ejemplo (página 2).

Mi pregunta: ¿tenemos que $G$ $p$- grupo o ¿también funciona para arbitrario finito abelian grupos?

Creo que es un error general de los grupos porque me parecía todo un poco y siempre sólo encontró el teorema anterior, pero no pude encontrar un contra-ejemplo.

Answer 1

El resultado de la siguiente manera para arbitrario finito abelian grupos de la $p$-grupo caso.

Recuerde que un número finito de grupo abelian $G$ es la suma directa de sus $p$-partes, $$G = G(p_1)\oplus \cdots\oplus G(p_n),$$ donde $p_1,\ldots,p_n$ son distintos de los números primos que dividen a $|G|$, y $$G(q) = \{ a\in G\mid q^ma = 0 \text{ for some }m\geq 0\},\qquad q\text{ a prime.}$$

Si $a\in G$ es de la máxima orden, entonces podemos escribir $a=a_1+a_2+\cdots+a_n$ donde $a_i\in G(p_1)$. Desde $a$ es de la máxima orden en $G$, $a_i$ es de la máxima orden en $G(p_i)$. Por la $p$-grupo caso, podemos escribir $G(p_i) = \langle a_i\rangle\oplus H_i$$H_i\leq G(p_i)$. A continuación, $H_1+\cdots+H_n$ es un subgrupo de $G$, que es el interior de la suma directa de las $H_i$, y desde $G(p_i) =\langle a_i\rangle\oplus H_i$, luego $$\begin{align*} G &= G(p_1)\oplus \cdots \oplus G(p_n)\\ &= (\langle a_1\rangle\oplus H_1) \oplus \cdots \oplus (\langle a_n\rangle \oplus H_n)\\ &= (\langle a_1\rangle\oplus\cdots \oplus\langle a_n\rangle) \oplus (H_1\oplus\cdots\oplus H_n). \end{align*}$$ Para rematar, tenga en cuenta que $\langle a_1\rangle\oplus\cdots\oplus \langle a_n\rangle = \langle a\rangle$ (por ejemplo, por el Teorema del Resto Chino).