Para los números enteros $a\ge b\ge 2$, $f(a,b) = a^ + b^$ inyectiva?

Question

Dados dos enteros $a \ge b \ge 2$, podemos codificar como un único entero $a^ + b^$?

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Esta pregunta se la pidió hace un par de semanas, pero no descarta que los casos triviales. Por ejemplo, si permitimos que uno de los enteros de $1$, entonces a partir de $$a^ + b^a =(a^b +b^a-1)^1 + 1^{a^+b^un-1}$$obtenemos una solución trivial. Sin embargo, para que $a\ge b\ge2$, creo que esta expresión es única, pero no he sido capaz de demostrarlo.

Hasta ahora, suponiendo que $a^ + b^ = c^d + d^c$, he tratado de trabajar modulo $b$ a fue en vano. Si $ b$ es primo, entonces el uso de Fermat Poco Teorema, tenemos $a \equiv c^d + d^c \pmod b$, pero no puedo ver cómo eso va a ayudar demasiado.

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Actualización: Después de hacer esto en Mathoverflow, parece incondicional de la solución es, probablemente, fuera del alcance de la matemática moderna. Sin embargo, suponiendo una generalización de la conjetura abc, es posible probar que existen en la mayoría de un número finito de repeticiones.

Answer 1

Enteros de la forma $a^ + b^a$, a,b > 1 se denomina Leyland números por Crandall & Pomerance en honor de Pablo Leyland. Ver https://oeis.org/A076980. Ver también http://en.wikipedia.org/wiki/Leyland_number para más información acerca de estos números, como un proyecto de factor de ellas.