¿Existe un análogo en tiempo discreto de la exponencial de Doléans-Dade?

Question

Para una martingala continua $X$ tenemos Doléans-Dade exponencial : $$\epsilon(X)_t=\exp\left(X_t-\frac{1}{2}[X]_t\right)$$

¿Cuál es el análogo "correcto", si existe, de una martingala en tiempo discreto? $M$ ? (Desafortunadamente en tiempo discreto esto ya no es una martingala (local)).

La motivación es la siguiente. En la página 68 del estas notas , el autor demuestra la desigualdad exponencial de Martingala (EMI) (citado en mis palabras):

Sea $X$ sea una martingala local continua con $X_0=0$ . T $x>0$ , $u>0$ ,

$$\mathbb{P}\left[\sup_{t\geq 0}~ X_s\geq x, [X]_t\leq u\right]\leq \exp\left(-\frac{x^2}{2u}\right)$$

Esto me recordó el Desigualdad Azuma-Hoeffding que establece:

Sea $M_n$ sea una martingala con $M_0=0$ y $|M_i-M_{i-1}|\leq c_i$ para todos $i$ . Entonces, para $x>0$ $$\mathbb{P}\left[\sup_{k\leq n}~M_k\geq x\right]\leq \exp\left(-\frac{x^2}{2\sum_{k=1}^nc_k^2}\right)$$

Bueno, tenemos $[M]_n\leq \sum_{k=1}^nc_k^2$ por lo que la primera desigualdad implicaría la segunda si sólo fuera cierta para martingalas en tiempo discreto (discontinuas) (estableciendo $u=\sum_{k=1}^nc_k^2$ ).

Para demostrar el IME, aplicamos el teorema de parada opcional a $\epsilon(\theta X)$ en el momento en que el $X$ primeros éxitos $x$ . Esto da un conjunto de límites parametrizados por $\theta$ para la probabilidad que queremos acotar, y optimizando sobre $\theta$ da el resultado (véanse las notas).

Para una definición adecuada de $\epsilon(M)$ ¿funcionaría el mismo argumento en tiempo discreto (y daría una prueba de Azuma-Hoeffding)?

Gracias.

Answer 1

No sé si esto responde a la pregunta, pero aquí están mis dos centavos :

Si partimos de la definición "SDE" de la exponencial de Doléans-Dade para una semimartingale general $X_t$ entonces la exponencial de Doléans-Dade es el proceso $Z_t$ la solución de la siguiente ecuación :
$$ \begin{cases} dZ_t&=Z_{t-}dX_t, \\ Z_0 &=1. \end{cases} $$

En tiempo discreto esto da una anología que nos permite definir la exponencial de Doléans-Dade como el único proceso dicreto s.t. :
$$ \begin{cases} \Delta Z_n&=Z_{n-1}\Delta X_n, \\ Z_0 &=1. \end{cases} $$
donde $\Delta Y_n$ significa $Y_n-Y_{n-1}$ para cualquier proceso discreto $(Y_n)_{n\ge 0}$ . Eso se puede resolver recurriendo a la forma : $$ Z_n=\prod_{i=0}^{n}(1 +\Delta X_i) $$ con la convención $\Delta X_0=0$ de modo que $Z_0=1$ .

Nótese que al expresar la solución para saltos puros continuos en el tiempo semi-martingale se obtiene casi la misma respuesta ( ver Jacod, Shiryaev "Limit Theorem for Stochastic Processes" al final del Capítulo 1).

(¡¡¡notemos que este exponencial puede tomar valores negativos!!!)

No sé si esto ayuda

Saludos cordiales

Answer 2

Encontré una referencia a un resultado en tiempo discreto similar al IME en el Ejercicio 3.11 de los excelentes apuntes de clase Ramon van Handel, Probability in High Dimension (Universidad de Princeton, 2014)

El enunciado del resultado es: Sea $(M_n)$ ser un $(\mathcal F_n)$ -martingale, tal que para todo $n \geq 1$ existe $\mathcal F_{n-1}$ -variables aleatorias mensurables $A_n, B_n$ tal que $A_n \leq M_n - M_{n-1} \leq B_n$ casi seguro. Entonces \begin{equation} \mathbb P\left[ M_n \geq t \ \mbox{and} \ \sum_{k=1}^n (B_k - A_k)^2 \leq c^2 \right] \leq e^{-2t^2/c^2}. \end{equation}

El ejercicio da la pista para considerar $\lambda M_n - \frac{\lambda^2}{8} \sum_{k=1}^n (B_k - A_k)^2$ .

En efecto, tenemos \begin{align*} \mathbb P \left[ M_n \geq t \ \mbox{and} \ \sum_{k=1}^n (B_k - A_k)^2 \leq c^2 \right] & \leq \mathbb P \left[ \lambda M_n - \frac{\lambda^2}{8} \sum_{k=1}^n (B_k-A_k)^2 \geq \lambda t - \frac{\lambda^2 c^2}{8}\right] \\ & \leq \exp \left( -\lambda t+ \frac{\lambda^2 c^2}{8}\right) \mathbb E\left[ \exp\left( \lambda M_n - \frac{\lambda^2}{8} \sum_{k=1}^n (B_k-A_k)^2 \right) \right]. \end{align*} El lema de Hoeffding establece que para $a \leq X \leq b$ a.s., $\mathbb E \left[ \exp( \lambda(X - \mathbb E X ) ) \right] \leq e^{\lambda^2(b-a)^2/8}$ . Por lo tanto \begin{align*} \mathbb E \left[ \exp\left( \lambda M_n - \frac{\lambda^2}{8} \sum_{k=1}^n (B_k-A_k)^2 \right)\mid \mathcal F_{n-1} \right] \leq \exp \left( \lambda M_{n-1} - \frac{\lambda^2}{8} \sum_{k=1}^{n-1} (B_k-A_k)^2 \right) \end{align*} e iterando se obtiene que la expectativa anterior es $\leq 1$ . Optimización sobre $\lambda$ da el resultado.

Answer 3

Supongamos que tenemos un $L^1$ proceso estocástico en tiempo discreto $\{X_n\}$ es decir $E|X_n|<\infty$ para todos $n\in\mathbb{N}$ . Entonces, como el proceso es $L^1$ la VR $V_n=\sum_{i=1}^{n}\ln E_{i-1}\left[\exp(X_n-X_{n-1})\right]$ está bien definida. Por lo tanto, generalmente somos capaces de formar la martingala exponencial $N_n=\exp[X_n-V_n]$ .

Como apunte, he encontrado que la martingala exponencial en tiempo discreto es realmente útil cuando se trata de cálculos para el paseo aleatorio. Funciona muy bien para el paseo aleatorio esencialmente por las mismas razones que el análogo de tiempo continuo funciona para el movimiento browniano.