Demostrar que $\{ \sin(x), \sin^2(x), \sin^3(x)\}$ es linealmente independiente en $F(\Bbb R)$

Question

Demostrar que $\{ \sin(x), \sin^2(x), \sin^3(x)\}$ es linealmente independiente en $F(\Bbb R)$.

He intentado conectar $\left\{ 0, \frac {\pi} {2}, \pi, \frac {3\pi}{2}\right\}$ pero que no funciona. ¿Cómo debo demostrar esto?

Answer 1

Asumir: $$\sin(x)^3=A\sin(x)^2+B\sin(x)$$ luego de$x=\dfrac{\pi}{2}$$x=\dfrac{3\pi}{2}$: $$1=A+B,\quad-1=A-B\quad\Rightarrow\quad A=0,\quad B=1$$ lo que implica: $$\sin(x)^3=\sin(x)\quad\Rightarrow\quad \sin(x)^2=1\quad \forall x \ne n\pi$$

lo cual es falso.