La tasa de convergencia para las secuencias

Question

He numéricamente determinó que la secuencia de $\{f_x\} = \frac{\sin(x^2)}{x^2}$ enfoques $1$ ($x$ enfoques $0$) más rápido que la secuencia de $\{g_x\} = \frac{\sin^2(x)}{x^2}$. Sin embargo, estoy atascado para la determinación de la tasa de convergencia de cada secuencia.

Debo usar la aproximación de ángulo pequeño $\sin(x)\approx x$ y el hecho de que $|\sin(x)|\leq 1$? Gracias.

Answer 1

Uso de la expansión de Taylor: $$ f_x=\frac{1}{x^2}\Bigl(x^2-\frac{x^6}{6}+O(x^{10})\Bigr)=1-\frac{x^4}{6}+O(x^8). $$

$$ g_x=\frac{1}{x^2}\Bigl(x-\frac{x^3}{6}+O(x^{5})\Bigr)^2=1-\frac{x^2}{3}+O(x^4). $$

Mayor detalle en la expansión de $g_x$:

$$ \Bigl(x-\frac{x^3}{6}+O(x^{5})\Bigr)^2=x^2-2\cdot x\cdot\frac{x^3}{6}-2\cdot x\cdot O(x^5)+\frac{x^6}{36}+O(x^{10})=x^2-\frac{x^4}{3}+O(x^6) $$

Answer 2

Vamos a empezar con la definición de la tasa de convergencia de funciones (Existe también la definición de la tasa de convergencia de las secuencias):

Definición. Deje $f$ ser una función definida en el intervalo $(a,b)$ que contiene $x=0$, y supongamos $\lim_{x\to 0}{f(x)=L}$. Si existe un la función $g$ que $\lim_{x\to 0}{g(x)=0}$ y una constante positiva $K$ tal que $$|f(x)-L| \le K|g(x)|$$ para todos los suficientemente pequeños los valores de $x$, $f(x)$ se dice que converge a $L$, con una tasa de la convergencia $O(g(x))$.

Deje $f(x)=\sin{x^2}/{x^2}$$g(x)=(\sin{x})^2/{x^2}$. A partir del Teorema de Taylor, sabemos que

$$\sin{x}=x-\frac{1}{6}x^{3}\cos{\xi}$$

para algunos $\xi$$0$$x$. Por lo tanto,

$$f(x)=\frac{x^2-\frac{1}{6}x^{6}\cos{\xi}}{x^2}=1-\frac{1}{6}x^{4}\cos{\xi}$$

Sabemos $\sin{x}=(1-\cos{2x})/{2}$ y

$$\cos{x}=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4\cos{\xi}$$

para algunos $\xi$$0$$x$. Por lo tanto,

$$g(x)=\frac{(1-1+2x^2-\frac{2}{3}x^4\cos{\xi})/2}{x^2}=\frac{x^2-\frac{1}{3}x^4\cos{\xi}}{x^2}=1-\frac{1}{3}x^2\cos{\xi}$$

Finalmente

$$|\frac{\sin{x^2}}{x^2}-1|=\frac{1}{6}|x^{4}\cos{\xi}|\le \frac{1}{6}|x^{4}|$$

y

$$|\frac{(\sin{x})^2}{x^2}-1|=\frac{1}{3}|x^2\cos{\xi}|\le \frac{1}{3}|x^2|$$

De ello se desprende que la tasa de convergencia de $f(x)$ $O(x^4)$ y la tasa de convergencia de $g(x)$$O(x^2)$. Es común expresar esto en taquigrafía por escrito $$\frac{\sin{x^2}}{x^2}=1+O(x^4) \qquad and \qquad \frac{(\sin{x})^2}{x^2}=1+O(x^2)$$ Que significa un término de error con la tasa de convergencia $O(x^4)$ se aproxima a cero más rápido que un término de error con la tasa de convergencia $O(x^2)$, ya que el valor de $x$ se aproxima a cero. Por lo tanto, $f(x)$ uno de los enfoques más rápido que $g(x)$ $x$ se aproxima a cero.

Fuente: Una Introducción Amigable para el Análisis Numérico por Brian Bradie.