Si $\mathcal{C}$ es una categoría con finito de co-productos, podemos asociar a un conmutativa monoid $\mathcal{C}/\cong$ de isomorfismo-clases de objetos, con la adición inducida por el subproducto y cero inducida por la inicial del objeto. Que tiene la propiedad de que $a+b=0 \Rightarrow a=b=0$.
Pregunta. Por el contrario, vamos a $M$ ser un conmutativa monoid con la propiedad de que $a+b=0 \Rightarrow a=b=0$ $a,b \in M$ (también se dice que el $M$ es reducido). Hay una categoría con finito de co-productos $\mathcal{C}$ tal que $\mathcal{C}/\cong$ es isomorfo a $M$?
Que nos llame a $M$ realizable si $M$ es de la forma deseada. Entonces:
- $\mathbb{N}$ es realizado por la categoría de conjuntos finitos.
- $\mathbb{N}/(1=2)$ es realizado por el preorder $\{0 < 1 \}$.
- $\mathbb{N}/(1=3)$ es realizable, ver SE/834653.
- Si $M,N$ son realizables, a continuación, $M \times N$ es también realizable.
- Si $S$ es un conjunto, entonces el libre conmutativa monoid $\bigoplus_{s \in S} \mathbb{N}$ $S$ es realizable. De hecho, hay algunos (propiedad conmutativa) anillo de $R$ tal que $S$ es isomorfo al conjunto de isomorfismo-clases de simple $R$-módulos. Ahora considere la categoría de los $R$-módulos, los cuales son finitos directa sumas de simple $R$-módulos.
- Si $M$ es un submonoid de una realizable conmutativa monoid $N$, $M$ es también realizable: Si $N$$\mathcal{C}/\cong$, considerar toda la subcategoría de $\mathcal{C}$ de aquellos objetos cuya isomorfismo clase pertenece a $M$.
- Un Teorema por Grillet establece que cada finitely generado cancellative de torsión libre reducido conmutativa monoid incrusta en algunos $\mathbb{N}^n$. Por lo tanto, estos son realizables.
