Vamos $D_i^t$, $D_i^0$ para $i=1,\dots,n$ ser operadores diferenciales. (Por ejemplo $D_1^t = D_x^t$, $D_2^t = D_y^t,\dots$, donde $x$, $y$ son las coordenadas).
Supongamos que se me da la identidad $${D}_a^t (F_t u) = \sum_{j=1}^n F_t({D}_j^0 u){D}_a^t\varphi_j$$ donde $\varphi_j$ son suaves funciones y $F_t$ es algo de buen mapa. Así $$ D^t_bD^t_a(F_t u) = \sum_j D^t_b\left(F_t({D}_j^0 u)\right){D}_a^t\varphi_j+\sum_j F_t({D}_j^0 u)D^t_b{D}_a^t\varphi_j $$ y porque $${D}_b^t (F_t (D_j^0u)) = \sum_{k=1}^n F_t({D}_k^0 D_j^0u){D}_b^t\varphi_k,$$ tenemos $$D^t_bD^t_a(F_t u) = \sum_{j,k=1}^n F_t({D}_k^0 D_j^0u){D}_b^t\varphi_k+\sum_j F_t({D}_j^0 u)D^t_b{D}_a^t\varphi_j .$$ Mi pregunta es ¿cómo puedo generalizar esto y obtener una regla para $$D^t_{\alpha} (F_t u)$$ donde $\alpha$ es un multiindex de orden $n$ (o $m$)? Mi intención es poner los derivados en $u$ y poner el $F_t$ fuera, como he demostrado más arriba.
Alguien me puede ayudar con la obtención de la fórmula para esto? Es realmente tedioso escribir múltiples derivados, así que es difícil decir para mí.
