¿Por qué es el ratio de Fibonacci a pesar de una disminución de la función, es la alternancia y la disminución?

Question

Traté de encontrar la relación de términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci y se encontró que es una función decreciente y converge . He probado a pesar de que un pequeño código de la pieza en python para que yo pueda tener una gran cantidad de puntos de datos para analizar.

import math

def F(n):
    return ((1+math.sqrt(5))**n-(1-math.sqrt(5))**n)/(2**n*math.sqrt(5))

for i in range(53):
    a = F(i)
    b = F(i+1)

print str(b) + '/' + str(a) + '=>' + str(b/a)

Y se dio valores que sugiere que es una función decreciente y converge en torno a 1.618. Pero me encontré con que, a pesar de que se fue disminuyendo, no fue una continua disminución de la función, de hecho aumenta y disminuye alternativamente. Pero en general fue decreciente y convergente.

Y he intentado trazar los valores para probar esto gráficamente.

(He ampliado el gráfico un poco por conspirar para $n*3$, sólo para hacer el punto de vista claro)

Mi duda es esta: ¿Qué es tan especial en esta serie que hace que se comporte de la alternancia en la naturaleza?

Traté de hacerlo por números consecutivos relación y descubrió que era una más, pero no alterna como de los ratios de Fibonacci.

Gracias

Answer 1

Considere la fórmula utilizada para el cálculo de los valores: $$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^n - \psi^n\right)$$ where $\phi=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)$ and $\psi=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{5}\right)$.

La proporción de mandatos consecutivos que puede ser expresada como $$\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{\phi^{n+1}-\psi^{n+1}}{\phi^n - \psi^n} = \phi + \frac{(\phi-\psi)\psi^n}{\phi^n -\psi^n}$$

Hay un par de observaciones que podemos hacer:

• Tenemos $|\phi|>1$$|\psi|<1$. Por lo tanto, con el aumento de la $n$, el valor de $\psi^n$ se acercará más y más a cero, mientras que $\phi^n$ va a crecer más y más. Esto ya implica la relación $(F_{n+1}/F_n)$ converge a $\phi$, ya que el otro término converge a cero (su numerador se va a cero y el denominador a infinito).
• $\psi<0$, lo $\psi^n$ invierte su signo siempre que aumentar el $n$ por uno. Por lo tanto, el segundo término oscila entre los aspectos positivos a los negativos, con lo que la relación alternativa entre ser mayor que $\phi$ y menor que $\phi$.

La primera observación que se puede generalizar a cualquier secuencia que puede ser expresado como una combinación lineal de exponenciales, el mayor de los cuales tiene la base mayor (en valor absoluto) que 1. La relación de términos consecutivos se reunirán a esta, la mayor base.

Answer 2

Esta no es una respuesta completa a su pregunta, pero esta es una característica de las fracciones continuas - y la Secuencia de Fibonacci puede ser generada de esta manera.

Entre otras fuentes de probar este y este. Hardy y Wright "Introducción a la Teoría de los Números" tiene una muy buena introducción.

Answer 3

Esta es una propiedad general de la continuación de la fracción convergents.

Recordemos que a simple infinita o finita, fracciones continuas están representados por

$$[a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n]:=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{\cdots+\cfrac{1}{a_n}}}}$$

$$[a_0,a_1,a_2,\cdots]:=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{\cdots}}}=\lim_{n\to\infty}[a_0,\cdots,a_n].$$

Si $x=[a_0,\cdots]$, a continuación, los racionales $[a_0,\cdots,a_n]$ son llamados a $x$'s parcial convergents.

Observar que como $x$ aumenta, $x^{-1}$ disminuye, por lo $(c+x^{-1})^{-1}$ aumenta, y así sucesivamente. Inductivamente, entonces, podemos concluir que el aumento de $a_i$ aumenta el $[a_0,\cdots]$ (finito o infinito) si $i$ es incluso y disminuye su valor si $i$ es impar. Generalmente queremos que la $a_i$ a ser números naturales (excepto tal vez la primera), así que conseguir representaciones únicas y se puede ver en la aritmética-diophantine propiedades de la recta numérica real, pero técnicamente no necesitamos. Así tenemos

$$[a_0,\cdots,a_n]=[a_0,\cdots,a_{n-1}+a_n^{-1}]\quad \begin{cases}\ge [a_0,\cdots,a_{n-1}] & n~\rm even \\ \le [a_0,\cdots,a_{n-1}] & n~\rm odd.\end{cases}$$

desde $a_{n-1}\to a_{n-1}+a_n^{-1}$ equivale a aumento de $a_{n-1}$.

Otro de inducción argumento muestra que cada convergente de $x$ está más cerca de a $x$ que el anterior. De hecho, tenemos las siguientes dos listas infinitas de las desigualdades:

$$[a_0,a_1]> [a_0,a_1,a_2,a_3]>[a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]>\cdots > x$$

$$x>\cdots\cdots\cdots> [a_0,a_1,a_2,a_3,a_4]>[a_0,a_1,a_2]>[a_0].$$

Es decir, los valores de la parcial convergents de $x$ "zig-zag" cada vez más cerca del verdadero valor de $x$ desde abajo y desde arriba (estamos suponiendo que $x$ tiene una infinita continuó fracción de expansión).

Es bien sabido que la proporción áurea $\varphi$ mantiene la fracción de expansión $[1,1,1,\cdots]$, y además que el parcial convergents son la relación de los sucesivos números de Fibonacci, es decir, que la $[\underbrace{1,1,\cdots,1}_n]=F_{n+1}/F_n$. Por ende, el hecho de oscilación de la siguiente manera.

Answer 4

En lugar de abordar la cuestión a través de fracciones continuas, se puede observar que la forma cerrada de la solución de la recurrencia $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ con valores iniciales $F_0=0$$F_1=1$: este es dado por la fórmula de Binet

$$F_n=\frac{\varphi^n-\widehat\varphi^n}{\sqrt5}\;,$$

donde $\varphi$ $\widehat\varphi$ son, respectivamente, el positivo y negativo de las soluciones de la ecuación cuadrática $x^2-x-1=0$,

$$\varphi=\frac{1+\sqrt5}2\approx1.618\quad\text{and}\quad\widehat\varphi=\frac{1-\sqrt5}2\approx-0.681\;.$$

Así, por la relación que tienen

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{\varphi^{n+1}-\widehat\varphi^{n+1}}{\varphi^n-\widehat\varphi^n}=\varphi+\frac{\varphi\widehat\varphi^n-\widehat\varphi^{n+1}}{\varphi^n-\widehat\varphi^n}=\varphi+\frac{\widehat\varphi^n(\varphi-\widehat\varphi)}{\varphi^n-\widehat\varphi^n}=\varphi+\frac{\widehat\varphi^n\sqrt5}{\varphi^n-\widehat\varphi^n}\;,$$

así que

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}-\varphi=\frac{\sqrt5}{\varphi^n-\widehat\varphi^n}\cdot\widehat\varphi^n\;.$$

El factor de $\dfrac{\sqrt5}{\varphi^n-\widehat\varphi^n}$ es siempre positivo; $\widehat\varphi^n$ es positivo incluso para $n$ y negativo para los impares $n$, por lo que

$$\begin{cases}\frac{F_{n+1}}{F_n}>\varphi,&\text{if }n\text{ is even}\\\\ \frac{F_{n+1}}{F_n}<\varphi,&\text{if }n\text{ is odd}\;. \end{casos}$$

Esto claramente implica la alternancia de comportamiento de la relación:

$$\frac{F_2}{F_1}<\varphi<\frac{F_3}{F_2}>\varphi>\frac{F_4}{F_3}<\varphi<\frac{F_5}{F_4}>\varphi>\frac{F_6}{F_5}<\ldots\;.$$

Answer 5

Creo que de los números de Fibonacci como el inicio de la con $1,1,2,3,5,\dots$. Llamar a estos $a_1, a_2.a_3,a_4, a_5,\dots$.

Tenga en cuenta que $a_3a_1-a_2^2=1$, $a_4a_2-a_3^2=-1$, y $a_5a_3-a_4^2 =-1$. Este bonito patrón continúa para siempre. Vamos a comprobar que, más tarde, y la carrera hasta el final.

Por lo $a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2$ suplentes para siempre entre valores positivos y negativos.

Al $a_{n+2}a_n -a_{n+1}^2$ es positivo, tenemos $a_{n+2}a_n \gt a_{n+1}^2$. Dividir ambos lados por $a_na_{n+1}$. Tenemos $$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} \gt \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$ Esto nos dice que la "próxima" a la proporción es más grande que la anterior relación.

Del mismo modo, cuando se $a_{n+2}a_n -a_{n+1}^2$ es negativo, $$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} \lt \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$ Esto dice que la siguiente relación es menos que la anterior relación.

Hemos demostrado que la alternancia se observa, de hecho, se lleva a cabo, si los signos realmente alternativo. Ahora nos muestran lo que hacen.

La prueba de la Alternancia de Signos: Inicio de la expresión de $a_{n+2}a_n -a_{n+1}^2$, reemplace$a_{n+2}$$a_{n+1}+a_n$, y reemplazar uno de los $a_{n+1}$$a_n+a_{n-1}$. Después de una pequeña cantidad de cálculo obtenemos $$a_{n+2}a_n -a_{n+1}^2=-\left(a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2\right),$$ lo que demuestra que la alternancia de signos.

El hecho de que $a_{n+2}a_n-a_{n+1}^2$ tiene valor absoluto $1$ puede entonces ser utilizado para probar la convergencia. Para la nota que dice que $$\left|\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{1}{a_na_{n+1}}.$$ Por lo tanto el valor absoluto de la diferencia de los coeficientes se está reduciendo rápidamente.