Impulsado por esta pregunta Estaba buscando $A \subset (0,1)$ tal que para cualquier intervalo $(a,b)\subset (0,1), A \cap (a,b)$ y $A^c \cap (a,b)$ son ambos incontables. Uno de estos $A$ es el conjunto de todos los números que tienen un número finito de $1$ en su base $3$ expansión. Como no se utilizó ninguna opción en la construcción, debería ser medible por Lebesgue, pero no puedo demostrarlo. ¿Cómo se demuestra?
Respuestas
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Para cada $n$ , dejemos que $A_n$ sea el subconjunto de elementos de $A$ que tienen al menos un $1$ en la primera $n$ dígitos de su expansión ternaria, pero no $1$ s después de la $n$ dígito. Su conjunto $A$ es igual a la unión de los $A_n$ s y el conjunto de Cantor. Cada $A_n$ es una unión finita de traslaciones escaladas del conjunto de Cantor (tomar $3^{-n}C$ , donde $C$ es el conjunto de Cantor, para obtener todos los números que tienen expansión ternaria sin $1$ s y que tienen $0$ en la primera $n$ posiciones; entonces se puede "traducir" añadiendo un número adecuado que tenga una cola de $0$ s y las adecuadas $1$ s en las coordenadas correspondientes).
Así que cada $A_n$ es una unión finita de conjuntos medibles por Lebesgue (los conjuntos de Cantor a escala son medibles por Lebesgue, y las traslaciones de un conjunto medible por Lebesgue son medibles por Lebesgue), por lo que es medible por Lebesgue. $A$ es una unión contable de conjuntos medibles de Lebesgue, por lo que es medible de Lebesgue.
Añadido. Como señala Andrés Caicedo en los comentarios más abajo, el argumento anterior muestra que el conjunto $A$ no es simplemente medible por Lebesgue, sino que Borel .
tooshel
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El número $x_n$ en el $n^\text{th}$ lugar después del punto radial en la expansión ternaria de $x$ es una función medible de $x$ . Esto es cierto porque la función suelo es medible en Borel, y $x_n=\left\lfloor 3\cdot\left(3^{n-1}x-\lfloor3^{n-1}x\rfloor\right)\right\rfloor$ . El conjunto $\{x:x_n\neq 1\}$ es medible para cada $n$ y, por lo tanto, el conjunto $$\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty \{x:x_k\neq 1\}.$$
Algunos conjuntos nulos de la segunda categoría ofrecen otros ejemplos de ello. El complemento de un conjunto de este tipo puede construirse tomando una unión contable de conjuntos cerrados con el interior vacío cuyos complementos tienen una medida progresivamente menor (por ejemplo, utilizando conjuntos de Cantor gordos).
