He estado estudiando una colección de libros de análisis (uno de ellos la versión constructiva de Bishop) y contemplando los reales. Corrígeme si me equivoco, pero me parece haber visto la propia secuencia de Cauchy en algunos lugares y su límite en otros lugares descritos como el número real. Entiendo que los intervalos cerrados anidados tienen un punto como límite de su intersección contablemente infinita. Puedo visualizar un intervalo arbitrariamente pequeño de racionales, cualquiera de los cuales tiene la misma pretensión (me parece, al menos hasta que se aporten otras consideraciones) de ser una "aproximación" a este punto. A menos que conozcamos el punto límite (a través de la serie geométrica, por ejemplo), ¿qué estamos aproximando sino una aproximación aún mejor de una aproximación aún mejor? (Tal vez la terminología "aproximación" funcione mejor para los recortes.) Supongo que no sólo estoy pidiendo que se aclare la convención dominante, sino también que se "hable de verdad" sobre la imaginación matemática de los números reales.
Gracias. Tengo a Rudin y también he mirado los cortes. Lo que no encontré en Rudin son ejemplos de la multiplicación de los cortes. Todo estaba en un nivel tan dolorosamente abstracto, estéticamente agradable tal vez, pero como cavar un agujero con una cuchara cuando quiere un agarre intuitivo / metafórico primero. Sé que el "corte" puede pensarse como el conjunto inferior, por ejemplo, pero entonces tienes un conjunto gigante desde el infinito negativo hasta el corte como número real. Creo que funciona, pero ¿dónde está el concepto ahí? Un isomorfismo, supongo, pero eso no es satisfactorio.
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Se necesita una definición formal de número real, aunque es de suponer que al resolver un problema, todos o casi todos parten de una noción intuitiva. Según la definición formal que se adopte, un número real es una clase de equivalencia de las secuencias de Cauchy, o un corte en los racionales. (Estas son las más populares, hay otras.) No creo que nadie defina un número real como una secuencia de Cauchy de racionales, después de todo hay infinitas secuencias de Cauchy que, intuitivamente, producen el mismo número real.
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No puede ser la propia secuencia, o bien $\{1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,\ldots\}$ y $\{2, 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143,\ldots\}$ serían números reales diferentes.
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A Bishop le gusta dejar de lado las clases de equivalencia y definir cada secuencia de Cauchy como un número real, pero luego define la igualdad de manera similar (más o menos lo mismo). Veo la necesidad de una definición formal, absolutamente. En la misma línea, valoro los enfoques algorítmicos/constructivos precisamente porque son mecanizados, exactos.
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O qué. ${}{}{}{}$
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Eso es todo. Experimento algo así como un choque de nociones intuitivas. La curva x^2 no interseca la curva 2, ¿verdad? Conectamos los puntos imaginarios cuando trazamos funciones, pero la mayoría de los puntos reales son límites de secuencias de las que no conocemos los límites, ¿no? O si son clases de equivalencia, son algo así como el límite mutuo de secuencias equivalentes. Supongo que, para la parte de conteo-discreto de mi intuición, el número real nunca se acaba, aunque en algunos casos podemos calcular el límite de una serie infinita, por ejemplo.
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Es como si los números racionales fuesen puntos de dimensión cero y los números irracionales fuesen líneas de dimensión única que se encogen. En ese sentido, un gráfico de números reales estaría lleno de intervalos superpuestos en lugar de puntos.