10 votos

¿Es un número real el límite de una sucesión de Cauchy, la propia sucesión, un intervalo cerrado de números racionales que se reduce, o qué?

He estado estudiando una colección de libros de análisis (uno de ellos la versión constructiva de Bishop) y contemplando los reales. Corrígeme si me equivoco, pero me parece haber visto la propia secuencia de Cauchy en algunos lugares y su límite en otros lugares descritos como el número real. Entiendo que los intervalos cerrados anidados tienen un punto como límite de su intersección contablemente infinita. Puedo visualizar un intervalo arbitrariamente pequeño de racionales, cualquiera de los cuales tiene la misma pretensión (me parece, al menos hasta que se aporten otras consideraciones) de ser una "aproximación" a este punto. A menos que conozcamos el punto límite (a través de la serie geométrica, por ejemplo), ¿qué estamos aproximando sino una aproximación aún mejor de una aproximación aún mejor? (Tal vez la terminología "aproximación" funcione mejor para los recortes.) Supongo que no sólo estoy pidiendo que se aclare la convención dominante, sino también que se "hable de verdad" sobre la imaginación matemática de los números reales.

2 votos

Se necesita una definición formal de número real, aunque es de suponer que al resolver un problema, todos o casi todos parten de una noción intuitiva. Según la definición formal que se adopte, un número real es una clase de equivalencia de las secuencias de Cauchy, o un corte en los racionales. (Estas son las más populares, hay otras.) No creo que nadie defina un número real como una secuencia de Cauchy de racionales, después de todo hay infinitas secuencias de Cauchy que, intuitivamente, producen el mismo número real.

0 votos

No puede ser la propia secuencia, o bien $\{1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,\ldots\}$ y $\{2, 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143,\ldots\}$ serían números reales diferentes.

0 votos

A Bishop le gusta dejar de lado las clases de equivalencia y definir cada secuencia de Cauchy como un número real, pero luego define la igualdad de manera similar (más o menos lo mismo). Veo la necesidad de una definición formal, absolutamente. En la misma línea, valoro los enfoques algorítmicos/constructivos precisamente porque son mecanizados, exactos.

7voto

Pablote Puntos 1149

Los números reales son la "clase de equivalencia" de las secuencias de Cauchy de los números racionales. Se toma el conjunto de todas las secuencias de Cauchy de los números racionales y se le pone una relación de equivalencia. Cuando se dice que dos secuencias de Cauchy de racionales dicen $x_{n}$ y $y_{n}$ ¿están relacionados? Están relacionadas si para cada $\epsilon > 0$ ( $\epsilon$ es racional aquí), existe un $n_{0}$ tal que $n > n_{0}$ implica

$$ |x_{n} - y_{n}| < \epsilon $$ .

Ahora dices que cada clase de equivalencia es un número real. ¿Cómo ves entonces los números reacionales dentro de los números reales? Entonces, supongamos que $r$ es un número racional, entonces la secuencia constante $x_{n} = r$ es una sucesión de Cauchy y la clase de equivalencia a la que pertenece es el número racional $r$ en el conjunto de los números reales. Es la identificación de los racionales dentro de los reales.

Esta es una forma de pensar en los números reales. La otra forma es a través de los cortes de Dedekind. Encontrará una magnífica exposición de los cortes de Dedekind en Walter Rudin Principios del análisis matemático .

Otra forma axiomática de pensar en los números reales es que es un campo completo ordenado, los números naturales son el subconjunto inductivo más pequeño de los números reales, los enteros son el subgrupo generado por los números naturales, y los racionales son el campo de la fracción de los enteros.

Elige el que más te guste. Cualquier otro debate será bienvenido.

0 votos

Gracias. Tengo a Rudin y también he mirado los cortes. Lo que no encontré en Rudin son ejemplos de la multiplicación de los cortes. Todo estaba en un nivel tan dolorosamente abstracto, estéticamente agradable tal vez, pero como cavar un agujero con una cuchara cuando quiere un agarre intuitivo / metafórico primero. Sé que el "corte" puede pensarse como el conjunto inferior, por ejemplo, pero entonces tienes un conjunto gigante desde el infinito negativo hasta el corte como número real. Creo que funciona, pero ¿dónde está el concepto ahí? Un isomorfismo, supongo, pero eso no es satisfactorio.

0 votos

@MJD gracias por la edición.

1 votos

@s.z. La intuición no es tan complicada. La idea es que un número real, digamos $\sqrt2$ , divide los racionales en dos conjuntos: los racionales que son mayores y los racionales que son menores. Y cada real lo hace de una manera diferente. Así que dejas que la propia división sustituya al número real. Si todo lo que tienes son los racionales, todavía puedes especificar un valor real cortando los racionales en un conjunto mayor (digamos, $\{x\mid x^2>2\}$ ) y un conjunto menor ( $\{x \mid x^2 < 2\}$ ) y decir que el valor real del que se habla es el que divide a los racionales que manera.

4voto

muerte Puntos 1474

Tenemos en mente este ideal platónico cuando pensamos en los números reales: Números en una línea, densamente ordenados como los racionales, y como una línea no tiene "ningún agujero", es decir, algún tipo de propiedad de completitud (véase el artículo Análisis real a la inversa de James Propp).

Es fácil demostrar que dos campos ordenados cualesquiera, $R$ y $R'$ con la propiedad de mínimo límite superior, digamos, son unívocamente isomorfos, es decir, existe un isomorfismo de campo único que preserva el orden $\varphi: R\to R'$ . Esto garantiza que si sólo utilizamos que los reales son un campo ordenado con la propiedad de límite superior mínimo, entonces cualquier afirmación que hagamos utilizando sólo esos hechos será verdadera para cualquier representación de conjunto que tenga también esas propiedades.

En resumen: no importa realmente. Lo único que importa es que hay algunos representación de conjuntos y eres libre de elegir el que más te guste. Personalmente soy partidario de las "clases de equivalencia de las secuencias racionales de Cauchy" y he esbozado una prueba de existencia y unicidad en otra respuesta mía .

0 votos

Gracias. Supongo que la propiedad de integridad formaliza nuestra intuición de continuidad. Por otro lado, creo que nuestra noción de continuidad choca con nuestra noción de lo discreto (el conteo). De todos modos, llamar al número real una clase de equivalencia de c.s. sigue siendo vago IMO cuando se trata de usar ese número real en presencia de racionales. Quizás eso es lo que me inquieta. El uso no está bien definido. También la cuestión de ¿qué se está aproximando? Un número real es un conjunto, una secuencia, un límite, por ejemplo, pero ¿cómo, exactamente, se conecta eso con el uso?

0 votos

0 votos

Supongo que me cuesta creer que la línea de números no tenga agujeros. Es como si los irracionales se visualizaran como si ya estuvieran creados, lo que tiene sentido en el concepto de la diagonal unitaria, pero quizá no a la luz de los enteros positivos como base --es cierto que no es una opción mayoritaria, pero me fascina. En esta línea, digamos que una persona integra con un irracional como límite superior, la integral es, supongo, en sí misma un representante de una clase de equivalencia, pero ¿qué valor se utiliza para x cuando se da a algún no matemático un número para aplicaciones?

-11voto

John Gabriel Puntos 1

La respuesta breve a su pregunta es SÍ. En la mitología, el número real se define como el límite de secuencias de Cauchy equivalentes de números racionales. El siguiente artículo es casi el punto de vista exacto de la corriente principal:

http://www.iitg.ernet.in/kvsrikanth/teaching/2011f/reals.pdf

Sin embargo, el límite no siempre es un número racional, en cuyo caso, la idea dominante es que debe ser un número irracional.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X