Se sabe que $\binom{n}{r} = \binom{n}{s}$ si y sólo si $r = s$ o $r = n - s$.
Si $n \neq m$, es cierto que $\binom{n}{s} \binom{m}{r} = \binom{n}{k} \binom{m}{\ell}$ si y sólo si ($s = k$ o $s = n - k$) y ($r = \ell$ o $r = m - \ell$)?
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¿Demasiados anuncios?
idbrii
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No tengo buenas ideas para responder a la pregunta de seguimiento, pero vale la pena señalar que hay infinitamente muchas soluciones para la ecuación fuera de las dos posibilidades mencionadas en la pregunta original. Por ejemplo, si $m=\binom{n}{k}$ algunos $1<k<n-1$,$\binom{n}{k}\binom{m}{0}=m=\binom{n}{0}\binom{m}{1}$.
EDIT: Bueno, entonces el OP quiere trivial respuestas, eh? Bueno, basta de generalizar Brian respuesta. Por qué funciona? Bien, tenemos la identidad de $$\binom{n}{k}=\binom{n}{k-1}\frac{n-k+1}{k}$$ así que una manera de transmutar un producto de binomios en otro producto $$\binom{n}{k}\binom{m}{\ell}=\binom{n}{k-1}\binom{m}{\ell+1}\frac{(n-k+1)(\ell+1)}{(m-\ell)k}.$$ If we can come up with $m\neq n$, $1<\ell<m-1$, and $2<k<n$ such that $(\ell+1)(n-k+1)=(m-\ell)k$ then we get examples. But these are more or less independent parameters, just pick stuff and see what works. For example, suppose we always want $k=\ell=2$. Then we need $3(n-1)=2(m-2)$ hence $2m=3n+1$. This only has solutions when $n$ es impar, y obtenemos: $$n=1, m=2: \text{trivial case (both sides 0)}$$ $$n=3, m=5: \text{trivial case since } k-1=m-k$$ $$n=5, m=8: \text{Brian's example}$$ $$n=7, m=11: \binom{7}{2}\binom{11}{2}=165=\binom{7}{1}\binom{11}{3}$$ No es difícil ver que a partir de aquí, tenemos nuevos ejemplos. Si escribimos $n=2r+1$, vemos que siempre tendremos $\binom{2r+1}{2}\binom{6r+2}{2}=\binom{2r+1}{1}\binom{6r+2}{3}$, así que hay un montón de ejemplos. Podríamos obviamente cocinar más por la variación de $k$$\ell$. (por ejemplo, $\ell=k=3$ rendimientos $\binom{3r-1}{3}\binom{4r-1}{3}=\binom{3r-1}{2}\binom{4r-1}{4}$, lo $\binom{8}{3}\binom{11}{3}=\binom{8}{2}\binom{11}{4}$)
No tengo idea en el momento en que la manera de encontrar una solución general, aunque.
user266493
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Este es un comentario, no una solución, pero el recuerdo de la identidad $(*)$ $\binom{n}{m} {m \choose k}={n \choose k}{n-k \choose m-k}$ y dejando $n=8, m=5$ podemos ver que Brian contraejemplo a su reclamación original es de esta forma como $k=3$ y ya ${5 \choose 2}={5 \choose 3}$, $k=2$ es equivalente, por lo tanto podemos intercambio de los productos o resultantes $rhs$ $(*)$ justifica en este caso por el hecho de que ${8 \choose 3}=2{8 \choose 2}$ así como ${8-3 \choose 5-3}=\frac{1}{2}{8-2 \choose 5-2}$. Así que esto parece sugerir que el $m=n-k_i$ algunos $k_i$ tal que para todo $i,j$, ${m \choose k_i}={m \choose k_j}$. Parece posible que todas las soluciones a su problema, debe ser equivalente a una expresión de la forma $(*)$ en algunas series de relaciones obtenida a partir de identidades como se ha mencionado anteriormente, que parecen extender las condiciones de su reclamación original, que es cualquier solución a su problema que no satisfacen las condiciones de su reclamación original debe ser equivalente al que, en cierto sentido, sí. Sólo un pensamiento, y podría ser un inútil, mis disculpas si ese es el caso.
