¿Por qué $x^2+47y^2 = z^5$ implicar solucionable quintics?

Question

Esto está relacionado con el post en $x^2+ny^2=z^k$. En respuesta a mi respuesta,

$$x^2+47y^2 = z^3\tag1$$

donde $z$ no es de la forma $p^2+nq^2$, Jagy siempre uno,

$$x^2+47y^2 = z^5\tag2$$

$$ (14p^5 + 405p^4q + 3780p^3q^2 + 13410p^2q^3 + 11550pq^4 - 14647q^5)^2 + 47 ( p^5 - 270p^3q^2 - 2520p^2q^3 - 8115pq^4 - 8344q^5)^2 = (3p^2 + 28pq + 81q^2)^5\tag3 $$

Como notado por Elaqqad, los polinomios cúbicos he usado para $(1)$ implicar el discriminante $d=-47$ y supuse que iba a ser lo mismo con el (irreductible) quintic polinomios utilizados por Jagy para $(3)$. Entonces me preguntaba si ellos fueron resueltos en radicales así. (Yo sabía que Ramanujan jugado con una solución quintic con $d=-47$.) Resulta que son.

Este Magma de la calculadora calcula el grupo de Galois y el comando es:

Z := Enteros(); P < x > := PolynomialRing(Z); f := 14*x^5 + 405*x^4 + 3780*x^3 + 13410*x^2 + 11550*x - 14647; G, R := GaloisGroup(f); G;

El análisis de ambos polinomios, se muestra el grupo tiene orden de 20 y, por tanto, es solucionable.

P: Dado $x^2+dy^2=z^k$ donde $z\neq p^2+dq^2$, es cierto que si

$$\big(P_1(x)\big)^2+d\big(P_2(x)\big)^2=\big(P_3(x)\big)^k$$

entonces las ecuaciones $P_1(x) = P_2(x) = P_3(x) = 0$ tienen solución en los radicales?

P. S. O es $5$th parametrización especial sólo porque el número de clase de $h(-47) = 5$? Una manera de comprobar sería la de resolver $x^2+47y^2 = z^\color{red}7$ análogo a $(3)$ (la Voluntad, la atención a obligar?) y a ver si implica solucionable septics.

Answer 1

No estoy encontrando un corto resumen de la composición de dos binarios cuadráticas formas, como el de Dirichlet. También, la edición de la Cox que tengo tiene una errata corregida en la segunda edición (2013), aquí está.

Dado $\gcd(a,a',B) = 1,$ definir $$ X = xz-Cyw, $$ $$ Y = axw + a'yz + B yw, $$ $$ (a x^2 + B xy + a'C y^2) (a' z^2 + B zw + aC w^2) = aa'X^2 + B XY + C Y^2 $$ que usted debe comprobar!

Aquí están las formas binarias (primitiva) de discriminante $-284$

Discr  -284 = 2^2 * 71  class  number  7

 all  
     284:  < 1, 0, 71>
     284:  < 3, -2, 24>
     284:  < 3, 2, 24>
     284:  < 5, -4, 15>
     284:  < 5, 4, 15>
     284:  < 8, -2, 9>
     284:  < 8, 2, 9>

Los primeros números primos íntegramente representado por $3x^2 + 2xy+24y^2$ $$ 3, 29, 89, 103, 109, 151, 157, 191, $$ and below, we show how to represent each $p^7$ once we have $x,y.$

compared with $-71$ primitive, where this time a form represents the prime $2$

Discr  -71 = 71  class  number  7

 all  
      71:  < 1, 1, 18>
      71:  < 2, -1, 9>
      71:  < 2, 1, 9>
      71:  < 3, -1, 6>
      71:  < 3, 1, 6>
      71:  < 4, -3, 5>
      71:  < 4, 3, 5>

ummmm, $h(-71) = h(-284) = 7.$ Since $4 \cdot 3^7 - 284 = 92^2,$ the principal form is $\langle 1, 92, 2187\rangle.$ The class group is cyclic, everything is a power of $\langle 3, 92, 729 \rangle$ under Dirichlet's version of Gauss composition. All I am doing is repeatedly multiplying by $3 x^2 + 92 xy + 729 y^2,$ the rules for composition eventually give the quadratic form $\langle 2187, 92, 1 \rangle$ with variables which are homogeneous degree seven in the original $x,y.$ Oh, any form that represents $1$ is $SL_2 \mathbb Z$ equivalent to the principal form. At the very end, I show how to write $t^2 + 71 z^2 = (3 x^2 + 92 xy + 729 y^2)^7. $ Estoy mostrando el conjunto de la gp-pari sesión, no hay nada difícil una vez que conseguimos que la suerte de la expresión de los coeficientes de un generador del grupo.

a=3; a1=3; b=92; c=243; z = x; w = y;

zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;

? a=3; a1=3; b=92; c=243; z = x; w = y;
? zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;
? z
%3 = x^2 - 243*y^2
? w
%4 = 6*y*x + 92*y^2
? 

a1 = 9; c = 81; zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;
? a1 = 9; c = 81; zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;
? z
%6 = x^3 - 729*y^2*x - 7452*y^3
? w
%7 = 27*y*x^2 + 828*y^2*x + 6277*y^3
? 

a1 = 27; c = 27; zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;

? a1 = 27; c = 27; zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;
? z
%9 = x^4 - 1458*y^2*x^2 - 29808*y^3*x - 169479*y^4
? w
%10 = 108*y*x^3 + 4968*y^2*x^2 + 75324*y^3*x + 376280*y^4
? 
? 
a1 = 81; c = 9; zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;



? a1 = 81; c = 9; zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;
? z
%12 = x^5 - 2430*y^2*x^3 - 74520*y^3*x^2 - 847395*y^4*x - 3386520*y^5
? w
%13 = 405*y*x^4 + 24840*y^2*x^3 + 564930*y^3*x^2 + 5644200*y^4*x + 20889961*y^5
? 



 a1 = 243; c = 3; zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;

?  a1 = 243; c = 3; zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;
? z
%15 = x^6 - 3645*y^2*x^4 - 149040*y^3*x^3 - 2542185*y^4*x^2 - 20319120*y^5*x - 62669883*y^6
? w
%16 = 1458*y*x^5 + 111780*y^2*x^4 + 3389580*y^3*x^3 + 50797800*y^4*x^2 + 376019298*y^5*x + 1098952052*y^6
? 
? 

 a1 = 729; c = 1; zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;

? 
?  a1 = 729; c = 1; zz = x * z - c * y * w  ;  ww = a * x * w + a1 * y * z + b * y * w; z = zz; w = ww;
? 
? z
%18 = x^7 - 5103*y^2*x^5 - 260820*y^3*x^4 - 5931765*y^4*x^3 - 71116920*y^5*x^2 - 438689181*y^6*x - 1098952052*y^7
? w
%19 = 5103*y*x^6 + 469476*y^2*x^5 + 17795295*y^3*x^4 + 355584600*y^4*x^3 + 3948202629*y^5*x^2 + 23077993092*y^6*x + 55417244077*y^7
? 

2187 * z^2 + 92 * z * w + w^2 

( 3 * x^2 + 92 * x * y + 729 * y^2)^7 

? 
? 2187 * z^2 + 92 * z * w + w^2
%20 = 2187*x^14 + 469476*y*x^13 + 46911879*y^2*x^12 + 2892076488*y^3*x^11 + 122889105423*y^4*x^10 + 3807263630268*y^5*x^9 + 88688782583499*y^6*x^8 + 1578039270279536*y^7*x^7 + 21551374167790257*y^8*x^6 + 224815110103695132*y^9*x^5 + 1763324345027822661*y^10*x^4 + 10084047184857263688*y^11*x^3 + 39747900724268273397*y^12*x^2 + 96660945131267433924*y^13*x + 109418989131512359209*y^14
? 
? 
? ( 3 * x^2 + 92 * x * y + 729 * y^2)^7 
%21 = 2187*x^14 + 469476*y*x^13 + 46911879*y^2*x^12 + 2892076488*y^3*x^11 + 122889105423*y^4*x^10 + 3807263630268*y^5*x^9 + 88688782583499*y^6*x^8 + 1578039270279536*y^7*x^7 + 21551374167790257*y^8*x^6 + 224815110103695132*y^9*x^5 + 1763324345027822661*y^10*x^4 + 10084047184857263688*y^11*x^3 + 39747900724268273397*y^12*x^2 + 96660945131267433924*y^13*x + 109418989131512359209*y^14
? 
? 2187 * z^2 + 92 * z * w + w^2 - ( 3 * x^2 + 92 * x * y + 729 * y^2)^7 
%22 = 0
? 

t = w + 46 * z

t^2 + 71 * z^2 

? 
? t = w + 46 * z
%23 = 46*x^7 + 5103*y*x^6 + 234738*y^2*x^5 + 5797575*y^3*x^4 + 82723410*y^4*x^3 + 676824309*y^5*x^2 + 2898290766*y^6*x + 4865449685*y^7
? 
? 
? 
? t^2 + 71 * z^2 
%24 = 2187*x^14 + 469476*y*x^13 + 46911879*y^2*x^12 + 2892076488*y^3*x^11 + 122889105423*y^4*x^10 + 3807263630268*y^5*x^9 + 88688782583499*y^6*x^8 + 1578039270279536*y^7*x^7 + 21551374167790257*y^8*x^6 + 224815110103695132*y^9*x^5 + 1763324345027822661*y^10*x^4 + 10084047184857263688*y^11*x^3 + 39747900724268273397*y^12*x^2 + 96660945131267433924*y^13*x + 109418989131512359209*y^14
? 
? t^2 + 71 * z^2  -  ( 3 * x^2 + 92 * x * y + 729 * y^2)^7
%25 = 0
? 
? 
? t
%26 = 46*x^7 + 5103*y*x^6 + 234738*y^2*x^5 + 5797575*y^3*x^4 + 82723410*y^4*x^3 + 676824309*y^5*x^2 + 2898290766*y^6*x + 4865449685*y^7
? 
? z
%27 = x^7 - 5103*y^2*x^5 - 260820*y^3*x^4 - 5931765*y^4*x^3 - 71116920*y^5*x^2 - 438689181*y^6*x - 1098952052*y^7
? 

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Answer 2

(Una respuesta parcial.) Gracias a Jagy dos parametrizaciones para degs $5$$7$, una identidad general ha sido encontrado. La idea era transformar $(3)$ $p=u-14v,\,q=3v$ a la forma,

$$(14 u^5 + 235 u^4 v - 6580 u^3 v^2 - 22090 u^2 v^3 + 154630 u v^4 + 47^3 v^5)^2 + 47(u^5 - 70 u^4 v - 470 u^3 v^2 + 6580 u^2 v^3 + 11045 u v^4 - 14\cdot47^2 v^5)^2\\=3^5(u^2+47v^2)^5$$

(y lo mismo para el deg $7$). La inspección de los coeficientes, los patrones fueron encontrados. Por lo tanto,

Si $a^2+db^2=c^5$, entonces,

$$(\color{blue}+u^5 \color{blue}+ 5 b d u^4 v \color{rojo}- 10 d u^3 v^2 \color{rojo}- 10 b d^2 u^2 v^3 \color{blue}+ 5 d^2 u v^4 \color{blue}+ b^3 v^5)^2 + d (\color{blue}+ b u^5 \color{rojo}- 5 u^4 v \color{rojo}- 10 b d u^3 v^2 \color{blue}+ 10 d u^2 v^3 \color{blue}+ 5 b d^2 u v^4 \color{rojo}- d^2 v^5)^2 \\= c^5 (u^2 + d v^2)^5$$

donde la anterior utilizada $14^2+47\times1^2=3^5$.

(Editado más tarde.) En general, si,

Si $a^2+db^2=c^k$, entonces,

$$\Big(a\,\phi_1-b\sqrt{-d}\,\phi_2\Big)^2+d \Big(b\,\phi_1-\frac{a}{\sqrt{-d}}\,\phi_2\Big)^2 =c^k(u^2+dv^2)^k$$

donde,

$$\phi_1 = \frac{(u+\sqrt{-d}\,v)^k+(u-\sqrt{-d}\,v)^k}{2}$$

$$\phi_2 = \frac{(u+\sqrt{-d}\,v)^k-(u-\sqrt{-d}\,v)^k}{2}$$

Desde una solución inicial a $a^2+db^2=c^k$ es fácil de encontrar para cualquier $d$ (tales como el uso de la obvia $a,b,c = 1,0,1$), luego el número de la clase $h(-d)$ no necesita de la materia, respondiendo a parte de mi pregunta original. Por ejemplo, el uso de $a^2+47b^2=c^7$ donde $a,b,c = 866458,55861,51$, entonces uno puede encontrar una $k=7$ parametrización similar a la hallada por Jagy para $d=71$, aunque $h(-47) = 5$.

El discriminantes $D$ de los primeros polinomios $P_1(u,v)$$k=5,7$,

$$D_5 = 2^{12}\cdot5^5c^{20}d^{10}$$

$$D_7 = 2^{30}\cdot7^7c^{42}d^{21}$$

Su forma y discriminantes sugiero que, igualada a cero, a continuación, $P_i(u,v)=0$ es soluble en radicales para cualquier $a,b,d$. Pero yo no (todavía) tiene una rigurosa prueba de que este es el caso.

Answer 3

Hay una norma de procedimiento de cálculo. Apto para cualquier grado.

Hacemos la conversión.

$$x^2+ay^2=(p^2+as^2)(k^2+an^2)(t^2+ar^2)=z^5$$

Y luego resolver el sistema de ecuaciones.

$$\left\{\begin{aligned}&z^2=k^2+an^2=t^2+ar^2\\&z=p^2+as^2\end{aligned}\right.$$

En la primera ecuación para parametrizar la sustitución en el segundo. Y entonces, decidimos y obtenemos la parametrización de todas las soluciones.

Claramente no sólo uno. Necesita encontrar otras soluciones?