Supongamos que $f$ es entera y que para cada $z$ , ya sea $|f(z)| \leq 1$ o $|f^\prime (z) |\leq 1$ . Demostrar que $f$ es un polinomio lineal.

Question

Mi pregunta está en el título. Estoy un poco perdido en cómo resolver este problema. Hay una pista asociada al problema que dice lo siguiente:

Utiliza una integral de línea para demostrar que $|f(z)| \leq A + |z|$ donde A = $\max\{1, |f(0)|\}$

Gracias por la ayuda.

Answer 1

También podemos suponer $|f(z)| > 1$

Toma la línea $[0,z]$ y que $d = \sup \{ w : w\in (0,z), |f(w)| \leq 1\}$ y $d = 0$ si este conjunto está vacío. Entonces $|f'(z)| \leq 1$ en $[d,z]$ .

Entonces $$|z| \geq |z - d| \geq \int_d^z |f'(w)| dw \geq \left|\int_d^z f'(w) dw \right| = |f(z) - f(d)|$$

Ahora $|f(d)| = \max \{ |f(0)|, 1 \}$ . Debido a la desigualdad $|a - b| \geq ||a| - |b|| \geq |a| - |b|$ Por lo tanto, tenemos $|z| + |f(d)| \geq |f(z)|$

Disculpa la notación, una vez que restrinjo a la línea $[0,z]$ Tomo prestado gran parte del lenguaje de los números reales.