Presento una desviación de la sección transversal diferencial, que (al menos eso espero) aclara las cosas. Nos basamos en la siguiente definición: $$ \mathrm d P = \mathrm d \sigma \times F. $$ Aquí $\mathrm d P$ es la probabilidad de transición por tiempo y volumen, con partículas resultantes $\{1,\dots,n\}$ llevando los momentos $\{p_{f1},\dots, p_{fn}\} = p_f$ . Las partículas entrantes se etiquetan (como en P&S) con $A$ y $B$ . F es la densidad de flujo entrante (relativista). Debemos expresar la densidad de flujo en términos de covariantes de Lorentz, para obtener una forma covariante de Lorentz de $\mathrm d \sigma$ . Volveremos a hablar de esto más adelante.
Empecemos por la probabilidad de transición. Las partículas entrantes en el "pasado infinito" se consideran partículas libres (así como los estados finales en el "futuro infinito"). Definimos un estado inicial como el siguiente paquete de ondas: $$ \vert i \rangle = \vert \phi_A \phi_B \rangle_\text{in} = \int \dfrac{\mathrm d^3 k_A}{(2\pi)^3 2 k_A^0} \int \dfrac{\mathrm d^3 k_B}{(2\pi)^3 2 k_B^0} \tilde \phi_A(\vec k_A) \tilde \phi_B(\vec k_B) \vert \vec k_A \vec k_B \rangle_{\text{in}}. $$ La restricción típica $k_i^0 = \sqrt{\vec k_i^2 + m_i^2}$ se hace de forma implícita. Además, utilizamos la abreviatura $$ \mathrm{d} \tilde p = \dfrac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3 2 p^0} $$ a partir de ahora. El estado final, puede ser un estado propio de momento definido, siempre que los detectores midan principalmente el momento, y no resuelvan las posiciones a nivel de las ondas de Broglie. Por ejemplo $$ \vert f \rangle = \vert \vec p_{f1},\dots,\vec p_{fn} \rangle_\text{out}. $$ Antes de continuar, hacemos algunas afirmaciones generales sobre los paquetes de ondas iniciales. La normalización de los estados propios del momento viene dada por $\langle \vec p \vert \vec p^\prime\rangle = (2\pi)^3 2 p^0 \delta(\vec p - \vec p^\prime) $ y por lo tanto para un paquete de ondas $$ \vert \phi \rangle = \int \mathrm d \tilde p \tilde \phi(\vec p) \vert \vec p \rangle, $$ obtenemos $$ 1 \stackrel{!}{=}\langle \phi \vert \phi \rangle = \int \mathrm d \tilde p \vert \tilde \phi(\vec p) \vert^2. $$ Podemos definir $\tilde \phi(\vec p)$ como la secuencia de Dirac, por ejemplo $$ \tilde \phi_\epsilon(\vec p) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} \exp\left(-\dfrac{(\vec p - \vec p_A)^2}{2 \epsilon} \right) \stackrel{\epsilon \to 0}{\to} \delta(\vec p - \vec p_A). $$ Es decir, podemos construir un paquete de ondas, con los momentos fuertemente concentrados alrededor de un momento definido $\vec p_A$ : $$ \vert \phi_\epsilon \rangle \stackrel{\epsilon \to 0}{\to} \vert \vec p_A \rangle. $$ Dejemos ahora $\vert \phi \rangle$ un paquete de ondas con momentos concentrados alrededor de $\vec p_A$ . En QFT la representación de la posición de dicho paquete de ondas se define como $$ \phi(x) = \langle 0 \vert \Phi(x) \vert \phi \rangle = \int \mathrm d \tilde p e^{-ipx} \tilde \phi(\vec p), $$ con el operador de campo escalar $$ \Phi(x) = \int \mathrm d \tilde p \left(e^{-ipx} a(\vec p) + e^{ipx} b^\dagger(\vec p) \right). $$ También se pueden utilizar campos espinorales o vectoriales. Para simplificar, se presenta una desviación más, utilizando un operador de campo escalar. Sin embargo, los resultados finales son válidos para campos generales. Ahora definimos la siguiente corriente (similar a la corriente de probabilidad en QM): \begin{align} j^\mu(x) &= i \left( \phi(x) \partial^\mu \phi^*(x) - \phi^*(x) \partial^\mu \phi(x) \right) \\ &= \int \mathrm d \tilde p \int \mathrm d \tilde p^\prime \tilde \phi^*(\vec p) \tilde \phi(\vec p^\prime) (p^\mu + p^{\prime \mu}) e^{i(p-p^\prime)x} \\ &\simeq 2 p_A^\mu \int \mathrm d \tilde p \int \mathrm d \tilde p^\prime \tilde \phi^*(\vec p) \tilde \phi(\vec p^\prime) e^{i(p-p^\prime)x}\\ &= 2 p^\mu_A \vert \phi(x) \vert^2. \end{align} Interpretamos $j^0(x) = \rho(x)$ como la densidad de las partículas y $\vec j(x) = (j^1(x),j^2(x),j^2(x))$ como densidad de flujo de partículas. La probabilidad de transición $P(A,B \to 1,\dots,n \text{ with momenta }p_f)$ viene dada por \begin{align} P(A,B \to 1,\dots,n \text{ with momenta }p_f) = \left(\prod_f \mathrm d \tilde p_f\right) \vert {}_{\text{out}}\langle \vec p_f \vert \phi_A \phi_B \rangle_{\text{in}}\vert^2. \end{align} Mantiene \begin{align} {}_{\text{out}}\langle \vec p_f \vert \vec k_A \vec k_B \rangle_\text{in} &= \langle \vec p_f \vert S \vert \vec k_A \vec k_B \rangle \\ &= \underbrace{\langle \vec p_f \vert \vec k_A \vec k_B \rangle}_{\text{unscattered part}} + \langle \vec p_f \vert \underbrace{S- \mathbb 1}_{T} \vert \vec k_A \vec k_B \rangle \end{align} (Para una definición detallada de S y de los estados de "entrada" y "salida", véase P&S). La amplitud de la transición $\mathcal M$ se define ahora como \begin{align} \langle \vec p_f \vert T \vert \vec k_A \vec k_B \rangle = i (2\pi)^4 \delta(k_A +k_B - {\textstyle\sum} p_f) \mathcal M(\{k_i\} \to p_f). \end{align} El caso físico interesante es que la parte no dispersa desaparece (es decir $\langle p_f \vert \phi_A \phi_B\rangle \simeq 0$ ). Además, suponemos que los paquetes de ondas $\vert \phi_A \phi_B \rangle$ se concentran alrededor de $\vec p_A$ y $\vec p_B$ . Obtenemos \begin{align} P(A,B \to 1,\dots,n \text{ with momenta }p_f) &=\left(\prod_f \mathrm d \tilde p_f\right) \left( \prod_{i=A,B} \int \mathrm d \tilde k_i \int \mathrm d \tilde k_i^\prime \tilde \phi_i^*(\vec k_i^\prime) \tilde \phi_i(\vec k_i) \right) \\ &\quad \times (2\pi)^4 \delta(k_A + k_B - {\textstyle\sum} p_f) (2\pi)^4 \delta(k_A^\prime + k_B^\prime - {\textstyle\sum} p_f) \\ &\quad \times \mathcal M^*(\{k_i^\prime\} \to p_f) \mathcal M(\{k_i\} \to p_f). \end{align} Dado que los momentos de los paquetes de ondas se concentran alrededor de $\vec p_A$ y $\vec p_B$ tiene \begin{align} \mathcal M^*(\{k_i^\prime\} \to p_f) \mathcal M(\{k_i\} \to p_f) \simeq \vert \mathcal M(\{\vec p_A ,\vec p_B\} \to p_f ) \vert^2, \end{align} y \begin{align} (2\pi)^4 \delta(k_A + k_B - {\textstyle\sum} p_f) (2\pi)^4 \delta(k_A^\prime + k_B^\prime - {\textstyle\sum} p_f) &= (2\pi)^4 \delta(k_A + k_B -(k_A^\prime + k_B^\prime)) (2\pi)^4 \delta(k_A^\prime + k_B^\prime-{\textstyle\sum} p_f) \\ &\simeq \int \mathrm d^4 x e^{ix(k_A^\prime + k_B^\prime - k_A -k_B)} (2\pi)^4 \delta(p_A + p_B - {\textstyle\sum} p_f) . \end{align} Los rendimientos de la inserción trasera \begin{align} P(A,B \to 1,\dots,n \text{ with momenta }p_f) &=\left(\prod_f \mathrm d \tilde p_f\right) (2\pi)^4 \delta(p_A + p_B -{\textstyle\sum} p_f) \\ &\quad \times \int \mathrm d^4 x \vert \phi_A(x) \vert^2 \vert \phi_B(x) \vert^2 \vert \mathcal M(\{\vec p_A ,\vec p_B\} \to p_f ) \vert^2. \end{align} Comparación con la definición de $\mathrm d P$ rinde \begin{align} \mathrm d P = \mathrm d \Phi_f \vert \phi_A(x) \vert^2 \vert \phi_B(x) \vert^2 \vert \mathcal M(\{\vec p_A ,\vec p_B\} \to p_f ) \vert^2, \end{align} con \begin{align} \mathrm d \Phi_f = \left(\prod_f \mathrm d \tilde p_f\right) (2\pi)^4 \delta(p_A + p_B -{\textstyle\sum}p_f), \end{align} el elemento LIPS (espacio de fase invariante de Lorentz). Definimos la densidad de flujo entrante como \begin{align} F = \sqrt{(j_A \cdot j_B)^2 - j_A^2 j_B^2}. \end{align} Se trata de una invariante de Lorentz manifiesta, ya que $j_i^\mu$ son vectores de Lorentz por construcción. Con el resultado anterior obtenemos \begin{align} F &= \sqrt{(4 \vert \phi_A(x)\vert^2 \vert \phi_B(x)\vert^2 p_A \cdot p_B)^2 - 16 \vert \phi_A(x)\vert^4 \vert \phi_B(x)\vert^4 p_A^2 p_B^2 \vert} \\ &= 4 \vert \phi_A(x)\vert^2 \vert \phi_B(x)\vert^2 \sqrt{(p_A \cdot p_B)^2 - m_A^2 m_B^2}. \end{align} El resultado final de la sección transversal diferencial es \begin{align} \mathrm d \sigma = \mathrm d \Phi_f \dfrac{\vert \mathcal M(\{p_A, p_B\} \to p_f)\vert^2}{4 \sqrt{(p_A \cdot p_B)^2 - m_A^2 m_B^2}}. \end{align} Esta expresión es invariante manifiesta de Lorentz. Veamos, si podemos restaurar el resultado de P&S, donde las partículas entrantes tienen velocidades colineales $\vec v_A, \vec v_B$ por ejemplo, en el marco del centro de masa de las partículas entrantes. En este caso $p_A$ y $p_B$ se dan como \begin{align} p_A = (E_A,\vec p), \quad p_B = (E_B,-\vec p). \end{align} Inserción de rendimientos \begin{align} 4 \sqrt{(p_A\cdot p_B)^2 - m_A^2 m_B^2} &= 4 \sqrt{(E_A E_B + \vec p^2)^2 - (E_A^2 - \vec p^2)(E_B^2 - \vec p^2)} \\ &= 4 E_A E_B \sqrt{\vec v_A^2 + \vec v_B^2 - 2 \vec v_A \vec v_B} \\ &= 2 E_A 2E_B \vert \vec v_A - \vec v_B \vert. \\ \Rightarrow \mathrm d \sigma &= \mathrm d \Phi_f\dfrac{\vert \mathcal M(\{p_A, p_B\} \to p_f)\vert^2}{2 E_A 2E_B \vert \vec v_A - \vec v_B \vert}. \end{align} Esto coincide con la fórmula de la sección transversal diferencial, dada en (4.79) en P&S. Esta expresión específica para la sección transversal diferencial, sólo es invariante de forma bajo aumentos en la dirección de $\vec p$ . Pero el resultado general anterior es válido en todos los marcos. La única afirmación problemática de P&S, en mi opinión, es llamar $\vert \vec v_A - \vec v_B \vert$ la velocidad relativa. En la relatividad especial, $\vert \vec v_A - \vec v_B \vert$ no puede interpretarse como "velocidad relativa". Por ejemplo, con $\vec v_A = c \hat e$ y $\vec v_B = -c \hat e$ obtenemos \begin{align} \vert \vec v_A - \vec v_B \vert = 2c. \end{align} Una definición adecuada de la velocidad relativa relativista es \begin{align} v_\text{rel} = \dfrac{\sqrt{(p_A \cdot p_B)^2 - m_A^2 m_B^2}}{p_A \cdot p_B} = \dfrac{\sqrt{(\vec v_A -\vec v_B)^2 - (\vec v_A \times \vec v_B)^2}}{1-\vec v_A \cdot \vec v_B}. \end{align}
