¿Por qué es el Jordán Curva Teorema no es "evidente"?

Question

Estoy terriblemente confundido acerca de Jordania Curva Teorema (de ahora en adelante JCT). Me podría dar alguna razón de por qué debe la validez de este teorema en duda? Me refiero a todo aquel que confía en el ojo teorema es obvio. Por lo tanto las respuestas como "no confían en el ojo" es que no me va a ayudar.

Estoy buscando respuestas a lo largo de las siguientes líneas. Si la terminal de contenedores jaye fueron verdaderos para el "obvio" que la razón, entonces puede dar lugar a contradicción en algún otro lugar. Para ser más concretos, puedo dar una analogía con otro teorema para el que he tenido sentimientos similares-es decir, el único teorema de la factorización de números naturales que se desplomó cuando aprendí acerca de Kummer de los números Primos.

En caso de que usted piensa que estoy siendo demasiado exigente cuando hago esta pregunta, aquí está otra dirección que usted me podría ayudar con. En ese caso, me gustaría uno o dos rápidas frases acerca de su experiencia personal con Jordania curva teorema -- algo así como cuando usted tenía su aha momento con este teorema. Algo así como, "veo, ahora sé (o puede adivinar) demostrando por qué fue un gran negocio". Por favor, responda cuando usted consigue el tiempo, me siento terriblemente confundido.

Gracias por tu paciencia,

Answer 1

No es exactamente la manera en la que uno se puede convencer a sí mismo que una declaración no es obvia: tratamos de probar y mirar a sus intentos muy, muy crítica.

Si usted piensa que usted puede venir para arriba con una prueba de la curva de teorema, edición en la respuesta y nos puede ayudar a diseccionarlo :)

Más tarde. Asaf se observa que puede ser el caso de que se refiere a "intuitivamente evidencia". Bien... yo tiendo a pensar que cuando alguien dice que algo es intuitivamente obvio sin tener pruebas concretas en mente, él es sólo agitar las manos en palabras. Pero hay dos observaciones que uno puede hacer, que son independientes de que.

En primer lugar, el pleno de la curva de Jordan teorema de ofertas con arbitraria curvas cerradas, y aquí ẗhe palabra "arbitraria" incluye cosas que uno no suele pensar, curvas tan complicada que no se puede hacer fotos precisas de ellos, por lo que es bastante improbable que uno tiene la intuición acerca de ellos en absoluto (al menos, cuando se topa con el teorema de la primera vez) Esta es una situación que viene todo el tiempo: uno piensa que una declaración es intuitivamente cierto sólo porque uno no está familiarizado con los casos en que ello no es cierto en absoluto. La intuición se basa en nuestra experiencia, y desde nuestra experiencia es, por definición, limitado, nuestra intuición es limitado, también.

En cualquier caso, le sugiero que trate de probar la versión de el Jordán curva teorema de que trata con un modelo lineal por tramos de curvas, es decir, con poligonales cerradas curvas (con un número finito de segmentos). En este más restringido situación, se han eliminado toda la naturaleza continua de los arcos pueden tener y se quedan con una geométricamente sensato de la situación. Pero! No obstante, es bastante no es obvio cómo probar el teorema en este sencillo situación, ya que usted encontrará cuando usted intente. (Esta versión puede ser probado sin la maquinaria que se utiliza para demostrar el teorema general, a pesar de que)

Answer 2

El Jordán Curva teorema es en realidad bastante fácil de probar si se supone que la curva es suave o un modelo lineal por tramos. La dificultad surge cuando se intenta manejar el caso general. Esto incluye ningún lugar-diferenciable curva como la de la frontera de el copo de nieve de Koch, y aún más curvas que incluso no pueden ser dibujados a mano, como Mariano dice. Es una especie de magia hecho sobre el plano de curvas cerradas simples se comportan muy bien para la terminal de contenedores jaye o Schoenflies el teorema de espera. En realidad, la terminal de contenedores jaye se cumple para cualquier esfera $S^n$ incrustado en $\mathbb R^{n+1}$ por Alexander dualidad, pero la Schoenflies teorema no (cuando $n>2$). Alexander de cuernos en la esfera es un ejemplo de $S^2$ incrustado en $\mathbb R^3$, cuyo complemento no está simplemente conectado. Otro fenómeno que "mágicamente" no sucede en el plano es el phenonemon de salvajismo. Hay embedded compact arcos en $\mathbb R^3$, tales como el Fox-Artin salvaje arco, que no simplemente se conecta complementa. Así que usted nunca puede enderezar estos arcos. Sin embargo, en el plano de cualquier arco (o simple curva cerrada) puede ser enderezado por una isotopía de ambiente.

Answer 3

Creo que tal vez la cosa más grande que las persianas de la intuición es que cuando uno se imagina la incorporación de un círculo en el plano, es muy fácil "perder la trama" y en lugar de imaginar la incorporación de un disco en el plano, con el círculo en el límite. Así que no solo puede ver de inmediato el interior y el exterior, pero también se puede ver la Schoenflies teorema -- que un círculo en el plano de los límites de un disco.

Un juego que puede ayudarle a comprobar su intuición sería conseguir a alguien para dibujar una muy complicado simple curva cerrada en el plano, y luego ver si se puede determinar la existencia o no de un "dentro" y "fuera" de forma rápida. En particular, vea si usted puede juzgar rápidamente si es o no partes del diagrama en el "interior" y "exterior", y luego de revisar más detenidamente para ver si estaban en lo correcto.

Este juego puede ser más complicado por tratarse de más de uno distinto, simple y cerrada curva en el diagrama. ¿Qué sucede entonces? Y así sucesivamente. Sospecho que hasta que encuentre el germen de la prueba, este puzzle tiene la misma forma como una especie de "laberinto rompecabezas" que ve en la comic secciones de los periódicos.