Hiperbólico diámetro de Amsler la superficie de la

Question

Recientemente he aprendido acerca de Amsler la superficie, la superficie de la constante negativa de la curvatura Gaussiana. Si entiendo las cosas correctamente, hay toda una familia de superficies, que se diferencia en el ángulo de intersección de las dos líneas que la generan. Pero supongo que sólo estoy interesado en la mayoría versión simétrica, donde estas líneas son ortogonales. Me gustaría saber cómo es grande una porción del plano hiperbólico puedo incrustar en esta superficie.

Así que si la unidad de longitud es elegido tal que la curvatura de Gauss de la superficie se convierte en $-1$, ¿cuál es el radio de un círculo que se centra en la intersección de las líneas asintóticas y apenas toca la cuspidal de los bordes de la superficie? Un "círculo" en este caso sería el conjunto de puntos sobre la superficie con fija de distancia geodésica de un punto central. Que intrínseca círculo no sería un plano de círculo en el 3D de la incrustación de la superficie.

La siguiente ilustración de Amsler la superficie fue tomada de la Galería de pseudospherical superficies por A. Ovchinninkov. No estoy seguro de la precisión con la que coincide con lo que puedo pedir, ya que hay otras figuras en la web que se vea algo diferente de esta.

Answer 1

esta pregunta se ha estudiado en http://arxiv.org/abs/1005.4442 . La figura de arriba fue tomada de Amsler del documento original y la discontinua la curva coincide con el mayor geodésica círculo de corte de la Amsler superficie.

Curiosamente, los autores muestran que arbitrariamente grande isométrica incrustaciones del plano hiperbólico existen. Ellos muestran esto mediante la adopción de Amsler superficie con un ángulo de $\phi_n=\frac{\pi}{n}$ entre los dos generar las líneas y periódicamente la ampliación de la superficie delimitada entre estas dos líneas. Sin embargo, lo cierto es que no existe un isométrico de la incorporación de la totalidad del plano hiperbólico.