Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SpacingModLetters.js

6 votos

Apertura y cierre de conjuntos convexos

Parece cierto que, dadas KRn un conjunto convexo con K,¯K=¯K(¯K)=K.

Yo soy capaz de probar la primera igualdad, haciendo uso de la "segmento de Lema", que establece que si yKxK, [x,y[K (aquí se [x,y[ es el segmento de unirse a x y sin tomar y).

Sin embargo no he encontrado ninguna corregir la prueba de la segunda igualdad, y ni un contra-ejemplo ha venido a mi mente.

Gracias a todos!

2voto

Luke Puntos 41

Aquí está una más funcional-analítica de la prueba, lo que evita el argumento con el simplexes: supongamos por contradicción que existe x(¯K)K. Por Hahn-Banach teorema (aplicado a K{x}) y el hecho de que (Rn)=Rn, usted puede encontrar v0 tal que v,Kv,x. Así v,K+ϵ|v|2v,x+ϵv. Pero x+ϵv¯K si ϵ>0 es pequeña. En particular, usted puede encontrar xK tal que |(x+ϵv)x|<ϵ2|v|, lo que da v,K+ϵ2|v|2v,x. Pero por el "segmento de lema", para cualquier fijo zK, [z,x)K, por lo v,[z,x)v,xϵ2|v|2 y por la continuidad de v,xv,xϵ2|v|2, contradicción.

Asumimos K0, pero siempre se puede encontrar un subespacio afín que contengan K donde esto ocurre y usted puede repetir la prueba aquí.

2voto

giomasce Puntos 518

Utilice la sugerencia de Andrea, o usted puede probar directamente de esta manera: KˉK, lo K˚. Por otro lado, si x \in (\bar K)^\circ, entonces existe una vecindad x \in U_x \subseteq \bar K. Ahora tome un pequeño simplex en U_x que contiene x en su interior. Hasta perturbar slightliy sus vértices, se pueden pertenecer a K mientras x le pertenece todavía al interior del simplex. Luego, por la convexidad del simplex es en K, lo x \in \mathring K.

Me di cuenta después de escribir que mi respuesta es esencialmente el mismo como http://math.stackexchange.com/a/7509.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X