Apertura y cierre de conjuntos convexos

Question

Parece cierto que, dadas $K \subseteq \mathbb{R}^n$ un conjunto convexo con $K^\circ \neq \emptyset$,$\overline{K^{\circ}} = \overline{K}$$\left ( \overline{K} \right )^\circ = K^\circ$.

Yo soy capaz de probar la primera igualdad, haciendo uso de la "segmento de Lema", que establece que si $y \in K$$x \in K^\circ$, $[x, y[ \subseteq K^\circ$ (aquí se $[x, y[$ es el segmento de unirse a $x$ $y$ sin tomar $y$).

Sin embargo no he encontrado ninguna corregir la prueba de la segunda igualdad, y ni un contra-ejemplo ha venido a mi mente.

Gracias a todos!

Answer 1

Aquí está una más funcional-analítica de la prueba, lo que evita el argumento con el simplexes: supongamos por contradicción que existe $x\in(\overline{K})^\circ\setminus K^\circ$. Por Hahn-Banach teorema (aplicado a $K^\circ$$\{x\}$) y el hecho de que $(\mathbb{R}^n)^*=\mathbb{R}^n$, usted puede encontrar $v\neq 0$ tal que $\langle v,K^\circ\rangle \le \langle v,x\rangle$. Así $$\langle v,K^\circ\rangle + \epsilon|v|^2\le\langle v,x+\epsilon v\rangle.$$ Pero $x+\epsilon v\in\overline{K}$ si $\epsilon>0$ es pequeña. En particular, usted puede encontrar $x'\in K$ tal que $|(x+\epsilon v)-x'|<\frac{\epsilon}{2}|v|$, lo que da $$\langle v,K^\circ\rangle + \frac{\epsilon}{2}|v|^2\le\langle v,x'\rangle.$$ Pero por el "segmento de lema", para cualquier fijo $z\in K^\circ$, $[z,x')\subseteq K^\circ$, por lo $\langle v,[z,x')\rangle\le\langle v,x'\rangle-\frac{\epsilon}{2}|v|^2$ y por la continuidad de $\langle v,x'\rangle\le\langle v,x'\rangle-\frac{\epsilon}{2}|v|^2$, contradicción.

Asumimos $K^\circ\neq 0$, pero siempre se puede encontrar un subespacio afín que contengan $K$ donde esto ocurre y usted puede repetir la prueba aquí.

Answer 2

Utilice la sugerencia de Andrea, o usted puede probar directamente de esta manera: $K \subseteq \bar K$, lo $\mathring K \subseteq (\bar K)^\circ$. Por otro lado, si $x \in (\bar K)^\circ$, entonces existe una vecindad $x \in U_x \subseteq \bar K$. Ahora tome un pequeño simplex en $U_x$ que contiene $x$ en su interior. Hasta perturbar slightliy sus vértices, se pueden pertenecer a $K$ mientras $x$ le pertenece todavía al interior del simplex. Luego, por la convexidad del simplex es en $K$, lo $x \in \mathring K$.

Me di cuenta después de escribir que mi respuesta es esencialmente el mismo como http://math.stackexchange.com/a/7509.