Isométrico de la incrustación

Question

Estoy confundido con el término de "Isométrica Incrustar". A mi entender, este se refiere a una distancia de preservar el mapa de un espacio a otro (un mapeo $f:(E,d_1) \to (F,d_2)$ tal que $d_2(f(x_1), f(x_2)) = d_1(x_1, x_2) )$. Pero tengo el siguiente problema :

Por un lado, veo los papeles diciendo que un isométrico de la incrustación de una esfera (con su distancia geodésica) a un espacio euclidiano no puede existir; por ejemplo, ver La Esfera no es Plana, por P. L. Robinson.

Por otro lado, veo que el Nash incrustación teorema que dice que cualquier superficie puede ser embebido en $R^n$ algunos $n$.

Lo que no entiendo ?

Gracias!

Answer 1

La 2-esfera existe de forma natural en $\mathbb R^3$, y, en general, la definición habitual de $S^n$ es como un subconjunto particular de $\mathbb R^{n+1}$ con la inducida por la métrica. En ese caso, el mapa de identidad es un local métrica-la preservación de la incrustación en $\mathbb R^2$, pero no conserva el mundial de distancia. A saber, dos diametralmente opuestos puntos de distancia $2$ $\mathbb R^3$ pero la distancia $\pi$ a lo largo de geodesics en la esfera en sí misma.

Por lo tanto, la forma natural de la integración funciona como una isometría cuando vemos a los dos espacios de Riemann colectores, pero no cuando se considera directamente como métrica de los espacios. Parece que ambos tipos de mapas puede ser llamado "isométrica incrustaciones", pero sin embargo son conceptos diferentes.

Answer 2

El Nash incrustación teorema de usos diferentes a $d_2$. Cuando usted tiene un submanifold de un colector de Riemann hay un inducida por la métrica de Riemann, que viene desde el interior del producto en todos los tangente espacios de la temperatura del colector. Llame a esta métrica $d_3$. En el Nash de la incrustación de teorema, en su declaración anterior, reemplace$(F,d_2)$$(f(E), d_3)$. Ese es el tipo de isométrico de la incrustación de este teorema se refiere.