Considere la función$$f(x) = (1 + x^2)^{-\alpha/2}(\log(2+x^2))^{-1},\text{ }x \in \mathbb{R},$$with $0 < \alfa < 1$. How do I see that $f \W^{1, p}(\mathbb{R})$ for all $p \in [1/\alpha, \infty]$ and that $f \noen L^q(\mathbb{R})$ for all $q \in [1, 1/\alpha)$?
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carlfriedrich
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Deje $x>0$. Debido a $\log x\le x$,$\log x\le x^t/t$$t>0$. Por lo tanto, $$\frac{1}{\log (2+x^2)}\ge \frac{t}{(2+x^2)^t},\ x\in\mathbb{R}.$$
A continuación, $$\int_{\mathbb{R}} (1+x^2)^{-\alpha q/2}(\log (2+x^2))^{-q}\ge \int_{\mathbb{R}}(1+x^2)^{-\alpha q/2}(2+x^2)^{-qt}. $$
A partir de la última desigualdad, se puede concluir que si $q\in [1,1/\alpha)$$f\notin L^q(\mathbb{R})$.
Por otro lado, tenga en cuenta que $$\int_{\mathbb{R}} (1+x^2)^{-\alpha p/2}(\log (2+x^2))^{-p}\le C\int_{\mathbb{R}} (1+x^2)^{-\alpha q/2},\tag{1}$$
por alguna constante positiva $C$, $f\in L^p(\mathbb{R})$$p>1/\alpha$. Para concluir, tenga en cuenta que $$f'(x)=-(2+\alpha)x(1+x^2)^{-1-\alpha/2}\left(\frac{1}{(\log(1+x^2))^2}+\frac{1}{\log(1+x^2)}\right).$$
Como en $(1)$, $D>0$ tal que $$\int_{\mathbb{R}} |f'|^p\le D\int_{\mathbb{R}}|x|^p(1+x^2)^{-p-p\alpha/2},$$
de dónde $f'\in L^p(\mathbb{R})$ si $p> 1/(\alpha+1)$, lo que implica que $f\in W^{1,p}(\mathbb{R})$$p> 1/\alpha$.
El caso de $p=\infty$ es inmediata.
Nota: El cálculo anterior no se incluye el caso en que $p=1/\alpha$, sin embargo, después de pensar un rato, me indicó que el cambio de las variables de $2+x^2=e^u$ probar todos los casos, de hecho, después de realizar este cambio de variables, se tiene que calcular la siguiente integral $$\int_{N}^\infty \frac{e^u}{(e^u-1)^{\alpha p/2}(e^u-2)^{1/2}u^{p}},$$
donde $N$ es mayor thatn $\log 2$. Una vez $$\frac{e^u}{(e^u-1)^{\alpha p/2}(e^u-2)^{1/2}},$$
está delimitado por $p\ge 1/\alpha$ $1/u^{p}$ es integrable en a$[N,\infty)$$\alpha\in (0,1)$, hemos demostrado el resultado deseado.
