Entero de soluciones de $x^3 = 7y^3 + 6 y^2+2 y$?

Question

¿La ecuación de $$x^3 = 7y^3 + 6 y^2+2 y\tag{1}$$ tener cualquier número entero positivo soluciones? Esto es equivalente a una conjetura acerca de OEIS secuencia A245624.

Arce me dice que esta es una curva de género $1$, y su forma de Weierstrass es$s^3 + t^2 + 20 = 0$, $ $ \eqalign{ s = \dfrac{-2(7 y^2 + 6 y + 2)}{x^2} y \ t = \dfrac{-2(3 x^3 + 14 y^2 + 12 y + 4)}{x^3}\cr x = \dfrac{-2(t-6)}{s^3+56} y\ y = \dfrac{4t-24}{s^3+56}}$$ Para que yo pueda encontrar puntos racionales en ambas curvas, pero no he sido capaz de encontrar entero puntos (1) distinta de la trivial $(0,0)$.

Answer 1

$$ \gcd(y, 7y^2 + 6 y + 2) = 1,2 $$

El primer caso es impar $y,$, de modo que $7y^2 + 6y+2$ es impar y $\gcd(y, 7y^2 + 6 y + 2) = 1.$ $y$ $7y^2 + 6 y + 2$ debe ser cubos. Tome $y = n^3.$ queremos $7n^6 + 6 n^3 + 2$ a ser un cubo. Los cubos se $1,0,-1 \pmod 9.$ Si $n \equiv 0 \pmod 3,$ $7n^6 + 6 n^3 + 2 \equiv 2 \pmod 9$ y no es un cubo. Si $n^3 \equiv 1 \pmod 9,$ $7n^6 + 6 n^3 + 2 \equiv 6 \pmod 9$ y no es un cubo. Si $n^3 \equiv -1 \pmod 9,$ $7n^6 + 6 n^3 + 2 \equiv 3 \pmod 9$ y no es un cubo.

Siguiente $\gcd(y, 7y^2 + 6 y + 2) = 2.$ $y= 4n^3$ $7y^2 + 6 y + 2 = 2 w^3$ . dame un minuto, que no está garantizado a ser fácil porque el otro caso fue. Hmmm, es posible tanto mod 9 y mod 7, que refleja la solución con mi $n=0, w=0.$ Suspiro. Simplemente tomando el $y=4u,$ puede ser un dócil manera de lidiar con $56u^2 + 12 u + 1 = w^3.$

Lunes: equipo sugiere el entero de sólo punto en $56u^2 + 12 u + 1 = w^3$ $(0,1),$ que terminaría el problema si se confirma. CONFIRMADO: ver soluciones Integrales a $56u^2 + 12 u + 1 = w^3.$

Answer 2

Para lo que vale, me tomó un generador de $P$ de la Mordell-Weil grupo de $y^2=x^3-20$ y se calcula la preimagen de $k\cdot P$ $|k| \leq 300$ vuelta a la curva original, y la única instancia en donde el punto fue parte esencial de la era de $k=0$.