Spin estructuras en $S^1$ y Spin cobordism

Question

Estoy tratando de comprender el 2 de spin estructuras en el círculo. Dado que el marco de paquete para el círculo es sólo el círculo en sí, Spin estructuras en $S^1$ corresponden a doble cubre de $S^1$. Hay dos opciones: la conectó doble cubierta y desconectado de cubierta doble.

Desde el punto de vista de Spin cobordism, podemos ver el círculo como el límite de la disco en el avión. El disco tiene un toque único de la estructura, y podemos pedir que hacen girar la estructura de este induce en el límite.

Lawson/Michelson del "Spin Geometría" afirma que esto induce a la vuelta de la estructura que viene de la cubierta doble, pero estoy teniendo problemas para ver eso. El marco de paquete para el disco de $D^2$ debe ser trivial, y por lo tanto isomorfo a $D^2\times SO(2) = D^2 \times S^1.$ Existe un natural de cubierta doble dada de nuevo por $D^2 \times S^1,$ y el mapa es sólo la identidad en $D^2$ $z \rightarrow z^2$ $S^1$ factor.

A ver lo que la inducida por el giro de la estructura, en el límite, debemos de ver el marco de paquete de la frontera, sentado dentro del marco de paquete de $D^2\times S^1$ mediante la fijación de un vector normal exterior de campo y, a continuación, utilizando para completar cualquier fotograma de la $S^1$ a un fotograma en $D^2.$ A mí, esto parece decir que vemos el marco de paquete de $S^1$ (que en sí es $S^1)$ $S^1\times \{1\} \subset D^2 \times S^1,$ ya que una vez que arreglar un vector de un marco (en este caso, por la normal), el otro está determinado, ya que estamos en 2 dimensiones.

Pero ahora, si nos fijamos en la imagen inversa de que en la doble cubierta, nos parecen obtener dos copias disjuntas de $S^1,$ es decir, desconectado de cubierta doble. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

El marco de paquete en el disco es, de hecho,$D^2 \times S^1$. Pero el problema con su argumento es que el vector normal exterior de campo no se extiende a un no-desaparición de campo de vectores en todo el disco, así que usted no puede encontrar una banalización $D^2 \times S^1$ de la estructura de paquete de $D^2$ de manera tal que el exterior apuntando normal del vector de campo está dado por $(s,1)$ sobre el límite de $D^2$ en su banalización.

Así que tenemos que ser más cuidadosos en la identificación del mapa de $S^1 \rightarrow D^2 \times S^1$ dado por la ampliación de un marco en $S^1$ a un marco en el límite de $D^2$ mediante la adición de afuera del vector normal que apunta campo. Ya que todo lo que sucede en $\mathbb{R}^2$, tenemos un canónica de la trivialización de todos los tangente paquetes. Deje $\lambda: S^1 \rightarrow S^1$ ser la multiplicación por $i$ o, en otras palabras, la rotación por $90°$. A continuación, $(s, \lambda(s))$ es un fotograma en el espacio de la tangente de $D^2$ en el punto de $s$ en la frontera. Su mapa de $S^1 \rightarrow D^2 \times S^1$ luego $s \mapsto (s, \lambda(s))$ (creo que de $\lambda(s))$ como un vector tangente a$s$$S^1$). Ahora es fácil ver que la restricción de la cubierta de $D^2 \times S^1$ está conectado cubierta doble de $S^1$.