¿Cuál es la relación entre la convergencia débil de las medidas y la convergencia débil del análisis funcional?

Question

Para simplificar las cosas, suponemos que $X$ para ser un espacio de pulido (piense en $X$ como $\mathbb{R}^n$ por ejemplo). Denotamos con $P(X)$ el espacio de todas las medidas de probabilidad de Borel sobre $X$ . Nosotros decimos $\{\mu_n\}\subset P(X)$ converge débilmente a $\mu\in P(X)$ , denotado por $\mu_n\Rightarrow \mu$ si

$$\int fd\mu_n\to\int fd\mu,\forall f\in C_b(X)$$

donde $C_b(X)$ es el espacio de todas las funciones continuas acotadas de valor real. Veamos esta definición como la puramente probabilística.

Del análisis funcional también tenemos el concepto de convergencia débil y topología débil. Sea $E$ sea un espacio de Banach y denote por $E'$ el doble. Entonces, considerando la familia $\{\phi_f:f\in E'\}$ , donde $\phi_f:E\to\mathbb{R}$ es la función lineal $\phi_f(x):=\langle f,x\rangle$ la topología débil en $E$ es la topología más gruesa que hace que todos los $\phi_f$ continua. Se puede demostrar $x_n\to x$ débilmente (en topología débil) si y sólo si $\phi_f(x_n)\to\phi(x)$ para todos $f\in E'$ .

Desde $X$ es polaco, tenemos que $P(X)$ también es polaco. Ahora puedo definir un funcional lineal continuo $\phi_f: P(X)\to\mathbb{R}$ para $f\in C_b(X)$ por

$$\phi_f(\mu):=\int fd\mu$$

De hecho $\phi_f\in P(X)'$ . Por lo tanto, tenemos $C_b(X)\subset P(X)'$ .

Mis preguntas son

$\textbf{1. Question}$ ¿Es el doble $P(X)'$ ¿Conocido? ¿Es isomorfo a un espacio bien conocido? ¿Es $C_b(X)$ ¿un subespacio propio?

$\textbf{2. Question}$ La notación de convergencia débil en sentido probabilístico ( $\mu_n\Rightarrow \mu$ ) es más débil que la convergencia débil en el sentido analítico funcional. Lo que quiero decir es: Si $\mu_n\to\mu$ en la topología débil, es decir $\langle f,\mu_n\rangle \to \langle f,\mu\rangle $ para todos $f\in P(X)'$ esto implica $\mu_n\Rightarrow \mu$ desde $C_b(X)\subset P(X)'$ . ¿Es esta la razón por la que se llama $\mu_n\Rightarrow \mu$ convergencia débil, o hay alguna otra razón?

Answer 1

La "convergencia débil de medidas" es un término erróneo. Lo que realmente significa es que el espacio de medidas se identifica, mediante la representación de Riesz, con el dual de algún espacio de funciones continuas, y esto nos da una topología débil* en el espacio de medidas. A la gente no le gusta decir que sus medidas convergen weak-star-ly o poniendo muchos asteriscos en sus textos.

Folland escribe en Análisis real , página 223:

La topología débil* en $M(X)=C_0(X)^*$ ... es de considerable importancia en las aplicaciones; la llamaremos topología imprecisa en $M(X)$ . (El término "vago" es común en la teoría de la probabilidad y tiene la ventaja de formar un adverbio con más gracia que "débil*"). La topología vaga se llama a veces topología débil, pero esta terminología entra en conflicto con la nuestra, ya que $C_0(X)$ rara vez es reflexivo.

Answer 2

Obsérvese que la notación $P(X)'$ no tiene sentido como $P(X)$ no es un espacio lineal. Pero se puede topologizar $P(X)$ de muchas maneras:

1. como un subespacio (en el sentido topológico) de $C_0(X)'$ con la topología de la norma, la distancia entre dos probabilidades cualesquiera $\mu$ y $\nu$ ser $\sup\big\{\big\vert\int f\,d\mu - \int f\,d\nu\big\vert:\;f\in C_0(X),\;\Vert f\Vert\leq1\big\}$
2. como un subespacio de $C_0(X)'$ con su topología débil*, bajo la cual $\mu_n\rightarrow \mu$ si y sólo si $\int f\,d\mu_n\rightarrow\int f\,d\mu$ para todos $f\in C_0(X)$ .
3. como un subespacio de $C_b(X)'$ con la topología de la norma, la distancia entre dos probabilidades cualesquiera $\mu$ y $\nu$ ser $\sup\big\{\big\vert\int f\,d\mu - \int f\,d\nu\big\vert:\;f\in C_b(X),\;\Vert f\Vert\leq1\big\}$
4. como un subespacio de $C_b(X)'$ con su topología débil*, bajo la cual $\mu_n\rightarrow \mu$ si y sólo si $\int f\,d\mu_n\rightarrow\int f\,d\mu$ para todos $f\in C_b(X)$ . Esto es lo que los probabilistas suelen llamar convergencia débil.

Answer 3

Si K denota la compactificación Stone-Cech X de X, se puede obtener una descripción de M(K)' -vista como el segundo dual de C(K)- utilizando el producto de Arens, que en el caso de las álgebras conmutativas C-* implica que M(K)' es isométricamente isomorfo a $C(\tilde K)$ -donde $\tilde K$ es un espacio compacto (Stoneano), llamado la envoltura hiperstoneana de $K$ . Hay un libro real dedicado a estas cuestiones: H.G. Dales, F.K.Dashiell,Jr., A.T.M. Lau, D. Strauss : "Banach Spaces of Continuous Functions as Dual Space

Answer 4

Lo que sigue es un mero esbozo y no estoy muy seguro de ello (y por ello agradezco mucho las correcciones, comentarios o cualquier otra aportación, pero respecto a su pregunta sobre el dual de $P(X)$ :

Su espacio $P(X)$ es un subespacio del espacio de todas las medidas regulares (con signo) de Borel, $M(X)$ que se sabe que es un espacio de Banach. Nótese que cualquier medida de Borel finita sobre $X$ es automáticamente regular, ya que $X$ es polaco.

Ahora $M(X)$ puede ser visto como un gran $\ell_1$ -suma de $L^1$ espacios de la siguiente manera: Tomar una colección maximalista $(\mu_i)_{i\in \mathcal{I}}$ de medidas de probabilidad mutuamente singulares en $X$ (utilizar a Zorn).

Dejemos que $\nu \in M(X)$ . Utilizando el teorema de Radon-Nikodým, para cada $i\in \mathcal{I}$ escribir

$$d\nu = f_i d\mu_i + \rho$$

donde $\rho$ es singular con respecto a $\mu_i$ . Ahora pon

$$\nu_0 = \sum_{i\in \mathcal{I}} f_i d\mu_i$$

De ello se desprende que $\nu - \nu_0$ es singular para cada $\mu_i$ y, por tanto, desaparece. Por lo tanto,

$$ M(X) \cong \left(\bigoplus_{ i\in\mathcal{I}} L^1(\mu_i) \right)_1 $$

a través del mapa $$ \nu \mapsto (f_i)_{i\in \mathcal{I}} $$

En consecuencia, $M(X)'$ puede identificarse con el $\ell_\infty$ -suma de los $L^\infty(\mu_i)$ Así pues, el $P(X)'$ será un cociente de este espacio, si no me equivoco. Por supuesto, esto no da demasiada información sobre la verdadera estructura.