La solución Real de la ecuación de $(x^2-2x+2)^2-2(x^2-2x+2)+2 = x$

Question

Calcular todas las soluciones reales $x\in\mathbb{R}$ de la ecuación $$ \tag1(x^2-2x+2)^2-2(x^2-2x+2)+2 = x $$

Mi Intento:

He utilizado el concepto de una función de composición. Deje $f(x) = x^2-2x+2$. Entonces la ecuación de $(1)$ se convierte en $f(f(x)) = x$. Tanto en $f(x) = x$ $f(x) = -x$ satisfacer el compuesto de la función.

Caso 1: Si $f(x) = x$, luego

$$ x^2-2x+2=x\\ x^2-3x+2=0\\ x\in\{1,2\} $$

Tenga en cuenta que $1,2\in\mathbb{R}$.

Caso 2: Si $f(x)=-x$, luego

$$ x^2-2x+2=-x\\ x^2-x+2=0\\ x=\frac{1\pm \sqrt{1-8}}{2}\noen \mathbb{R} $$

Tan sólo $x\in\{1,2\}$ son las soluciones reales de la ecuación anterior.

Es mi proceso correcto? Es que no hay ningún otro método por el cual podemos resolver la pregunta de arriba?

Answer 1

Establecimiento $T=x-1$ $(T^2+1)^2-2(T^2+1)+1-T=0$ o $T^4-T=0$ que es $T(T-1)(T^2+T+1)=0$ , por lo que de soluciones reales tiene $T=0$ o $T=1$ $x=1$ o $x=2$.

Answer 2

A la pregunta

Es mi proceso?

Por desgracia, no, no es. Hay dos problemas con su lógica:

En primer lugar, si bien es cierto que las funciones $f(x)=x$ $f(x)=-x$ ambos (por separado) obedecer la identidad de $f(f(x))=x$, que parece estar tratando de utilizar la inversa de este, lo cual es falso: Dado que el $f(f(x))=x$, es que no es necesariamente cierto que cualquiera de las $f(x)=x$ o $f(x)=-x$. Otras posibilidades incluyen el $f(x)=A-x$ (para cualquier número real $A$) y $f(x)=C/x$ (para cualquier número real $C$, y asumiendo $x \ne 0$). Tampoco se trata de una lista exhaustiva de las posibilidades; básicamente se está tratando de describir todas las involuciones (funciones que son de su propia función inversa); una caracterización completa de tales funciones se pueden encontrar en esta pregunta.

Pero el segundo problema es quizás más grave: Te parece que se confunde la declaración de que $f(f(x))=x$ para un valor particular de x con la afirmación de que $f(f(x))=x$ para todo x. Supongamos que (por ejemplo) que tiene una función para la que $f(3)=-3$. ¿Qué dice usted acerca de $f(f(3))$? Usted sabe que $f(f(3))=f(-3)$, pero no se puede concluir que esta es igual a $3$, porque no sabemos nada acerca de $f(-3)$.

Editado para añadir: Por otro lado, no es algo que haga acerca de su solución. Si eres lo suficientemente afortunado para encontrar un valor de $x$ que $f(x)=x$, entonces es ciertamente por cierto que $f(f(x))=x$, y por lo tanto la solución de la ecuación de $f(x)=x$ puede encontrar algunas de las soluciones a un problema como este. Pero esto no está garantizado para encontrar a todos ellos. La ecuación original está en 4º de grado del polinomio, y por lo que en principio uno puede esperar hasta 4 soluciones reales, pero esta heurística sólo se puede encontrar en la mayoría de las 2 soluciones.

En este problema pasa a ser el caso de que esta heurística en realidad no encuentre todas las soluciones, lo que me parece ser una coincidencia sorprendente. No estoy seguro de la parte superior de mi cabeza cómo típico de esto es. Nadie quiere tomar una foto en la clasificación de los polinomios $f$ que $f(f(x))=x$ si y sólo si $f(x)=x$?