Dejemos que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que el conjunto $X = \{x \in \mathbb{R} : f(x) = 0\}$ no contiene ningún intervalo (es decir, no hay ningún intervalo $I \subset X$ )
Por supuesto, el conjunto $X$ puede ser incontable (véase Conjunto Cantor ). Si añadimos que $f$ es continua, ¿es cierto que X es contable? He estado pensando en esto durante un tiempo, y no he podido encontrar ningún contraejemplo - mi intuición dice que la respuesta es sí. Traté de iniciar una prueba pero realmente no pude avanzar.
Mi intento (por contradicción): asumir $X$ es incontable. Entonces existe $[a, b] \subset \mathbb{R}$ tal que $X \cap [a, b]$ es incontable. Ahora, dejemos que $g$ sea la restricción de $f$ a $[a, b]$ . Entonces $g$ es uniformemente continua. Sin embargo, no sé qué hacer a continuación...
Se agradece cualquier sugerencia.
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Hubo mucha confusión en el siglo XIX sobre cerrado ninguna parte densa conjuntos, es decir, conjuntos que no contienen ningún intervalo. Así que sólo tienes que poner al día tu intuición. Si les resultó difícil, no te sorprendas si tardas un poco en conseguirlo. ¡Lástima que no tuvieran StackExchange!
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Por supuesto. Después de algunos meses más de estudio, ¡espero que mi intuición se actualice!
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Dato curioso: si $f$ es la trayectoria de un movimiento browniano, entonces con probabilidad 1, su conjunto cero es incontable y no contiene intervalos. Así que, en cierto sentido, "casi todas" las funciones continuas tienen esta propiedad.