Cómo mostrar un Determinantal la desigualdad

Question

Si $A, B$ $C$ $n\times n$ positivo semidefinite matrices. Cómo mostrar que $$\det(A + B) + \det(A + C)\le \det A + \det(A + B + C)?$$

Answer 1

Utilizando el hecho de que $A$ es simétrica positiva definida, podemos encontrar $R$ simétrica tal que $R^2=A$. Por lo tanto, estamos reducidos para el caso de $A=I$. Tenemos que demostrar que $$\sum_{J\subset [n]}(\det B^{(J)}+\det C^{(J)})\leq 1+\sum_{J\subset [n]}\det(B+C)^{(J)},$$ donde $A^{(J)}$ significa que la matriz $A$ sin que las líneas y columnas de índice en $J$. De hecho, se puede demostrar que para una matriz $A$, $\det(I+A)$ es una suma de $2^n$ determinantes, cuando las columnas son de $I$ o $A$. A continuación, para cada factor determinante de este tipo, se expanden con respecto a las columnas que pertenecen a $I$.

Este tema muestran que $\det(M_1+M_2)\geq \det M_1+\det M_2$ donde$M_1$$M_2$, son los dos positivos definir matrices da la conclusión.

Answer 2

Positiva definida matrices tienen un único positiva definida raíces cuadradas. Por lo tanto, tirando de $\det(A+B)$ ( $\left[\det\left((A+B)^{1/2}\right)\right]^2$ ), podemos suponer que la $A+B=I$$\rho(A)<1$. Así, la manifiesta desigualdad se reduce a $$1 + \det(A + C)\le \det A + \det(I + C),$$ lo cual es cierto porque \begin{align*} &1 + \det(A+C)\\ =&1 + \prod_{i=1}^n \lambda_i(A+C)\\ \le&1 + \prod_{i=1}^n \left(\lambda_i(A) + \lambda_i(C)\right)\\ =&1 + \det(A) + \det(C) + \sum_{\begin{array}{c}B_1,\ldots,B_n\in\{A,C\}\\ B_1,\ldots,B_n \text{ are not all equal}\end{array}} \prod_{i=1}^n \lambda_i(B_i)\\ \le&1 + \det(A) + \det(C) + \sum_{\begin{array}{c}B_1,\ldots,B_n\in\{I,C\}\\ B_1,\ldots,B_n \text{ are not all equal}\end{array}} \prod_{i=1}^n \lambda_i(B_i)\\ =&\det(A)+\det(I+C). \end{align*}