Medibles rectángulos en el interior de un no-null conjunto

Question

Considere la posibilidad de $[0,1]^2$ con medida de Lebesgue $\mu$. Deje $D\subseteq [0,1]^2$ ser medibles con $0<\mu(D)<1$. Se puede encontrar a $A,B\subseteq[0,1]$ medibles con $\mu(A)\mu(B)>0$, y sin embargo $\mu(D\cap (A\times B))=0$? (Que es, quiero encontrar a una no-null rectángulo, que es esencialmente dentro del complemento de $D$).

Algunas ideas:

• Por la regularidad, podemos suponer que $D$ está abierto, y que $A$ $B$ están cerrados
• Si $D$ no es denso, entonces la respuesta es fácil "sí". Así que podemos suponer que $D$ es abierto y denso.
• A continuación, puede escribir $D$ como una contables de la unión de abrir rectángulos con rational coordenadas. El tratamiento de cada uno en un momento, podemos eliminar null establece a partir de Una o B. la Repetición de countably muchas veces se muestra que, si $A$ $B$ existen, entonces, en realidad, podemos elegir con $D \cap (A\times B) = \emptyset$.

Yo un poco sospechoso que esto es falso, pero no puedo encontrar un contra-ejemplo (no puedo obtener el habitual truco de, digamos, cubriendo los racionales por pequeña que las bolas de trabajo).

Answer 1

La existencia de un contraejemplo es implícita por el Teorema 2.1 de Kendall y de Montana papel "Pequeños conjuntos y de transición de Markov densidades". A continuación se presenta un extracto de las páginas 180-182, incluyendo el principio de la sección de contexto.

Esta pregunta es contestada con un enfoque diferente en Halmos de Problemas matemáticos, jóvenes y viejos. Problema, Sugerencia, y la Solución 14.E a continuación se dan las Kendall y Montana extracto.

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Y aquí está Halmos:

Answer 2

No veo la necesidad de trabajar tan duro. Deje $S$ ser la unidad de la plaza $[0, 1]^2$, $D = \{(x, y) \in S : x + y \notin \mathbb{Q}\}$. A continuación, tanto en $D$ $S \backslash D$ son positivas rectángulo libre (para $D$, el uso de Steinhaus teorema). Ahora divida $S$ en cuatro cuadrados iguales y elija $E \subset S$ que es la unión de $D$ relativizada a la 1ª y la 3ª plaza y $S \backslash D$ relativizada a la 2ª y la 4ª plaza. A continuación, $E$ área $1/2$ y el tanto $E$ $S \backslash E$ son positivas rectángulo libre.