Para los números reales $x$ y $y$ , demuestran que $\frac{x^2 + y^2}{4} < e^{x+y-2} $

Question

Demuestre que para $x$ , $y$ números reales, $0<x$ , $0<y$

$$\left(\frac{x^2 + y^2}{4}\right) < e^{x+y-2}. $$

Alguien puede ayudarme con esto por favor...

Answer 1

De la conocida desigualdad: $1+z\leq e^z$ sustituimos $z$ por $\frac{z}{2}-1$ para conseguir $\frac{z}{2}\leq e^{\frac{z}{2}-1}$ . Eleva al cuadrado ambos lados para obtener $\frac{z^2}{4}\leq e^{z-2}$ . Ahora dejemos que $z=x+y$ para conseguirlo: $\frac{(x+y)^2}{4}\leq e^{x+y-2}$ . Por lo tanto:

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}<\frac{(x+y)^2}{4}\leq e^{x+y-2}$$

Nota:

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}< \frac{(x+y)^2}{4}$ porque $x,y> 0$

Answer 2

Cuando $x+y$ es fijo $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ toma un valor máximo cuando $xy=0.$ Por tanto, basta con demostrar nuestra desigualdad cuando una variable es $0.$ En este caso, se puede reducir a $\frac{x^2}{4}\le e^{x-2}$ o $e^z\ge 1+z+\frac{z^2}{4}$ lo que se deduce inmediatamente del hecho de que $e^z\ge 1+z+\frac{z^2}{2}.$

Forma alternativa de presentar la solución: Dejemos que $x+y=t$ $$\frac{x^2+y^2}{4}=\frac{(x+y)^2-2xy}{4}\le \frac{t^2}{4}\le e^{t-2}$$ y el resto es lo mismo que lo anterior.

Answer 3

Esta es sólo una respuesta parcial porque sólo funciona para $x+y>2$ pero podría darte una idea:

En primer lugar, tenemos que reducirlo a una sola variable, así que vamos a utilizar la desigualdad $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$ (esto es fácil de demostrar). Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, y luego aplicamos esta desigualdad al lado izquierdo:

$\frac{x+y}{2}<\sqrt{e^{x+y-2}}$

Dejemos que $r=x+y$ y vamos a reescribir esto:

$\frac r2 <{e^\frac r2 -1}$ (No sé por qué no lo muestra pero el $-1$ está en el exponente a partir de ahora)

Si tomamos la derivada de ambos lados con respecto a $r$ variables, vemos que tenemos que demostrar que

$\frac 12 < \frac 12 {e^\frac r2 -1}$ o $1<{e^\frac r2 -1}$

Estoy seguro de que ya sabes que las funciones exponenciales son monotónicamente crecientes, así que no hace falta que lo repasemos. Si resuelves ${e^\frac r2 -1}>1$ , se obtiene $r>2$