¿La historia de las matemáticas la escriben los vencedores?

Question

La pregunta es el título de un Publicación de 2013 en el Avisos de la Sociedad Matemática Americana por doce autores (entre los que me cuento). El argumento es que la historia tradicional de las matemáticas se basa en la suposición de una evolución inevitable hacia el marco basado en el continuo real desarrollado por Cantor, Dedekind, Weierstrass (denominado el "gran triunvirato" por Carl Boyer ici ) y otros. Tomando como punto de partida algunas observaciones fundamentales de Felix Klein, los autores sostienen que la visión tradicional es parcial y empobrece nuestra comprensión de la historia de las matemáticas. ¿Han subestimado sistemáticamente los historiadores la importancia de la vertiente infinitesimal en el desarrollo del análisis? Se invita a los autores a presentar respuestas razonadas basadas en conocimientos históricos factuales, y a abstenerse de respuestas basadas únicamente en opiniones.

Para ser aún más explícitos, pedimos ejemplos adicionales de la historia que apoyen el punto de vista de Boyer o el del artículo de la NAMS. Es decir, limitar la pregunta a hechos y no a opiniones (basado en un comentario de Willie Wong en meta).

Nota 1. Para un hilo de MO estrechamente relacionado, véase este .

Nota 2. Una reacción a la Avisos artículo de Craig Fraser fue publicado ici .

Nota 3. Se analiza otro posible vencedor Gray en este hilo de MSE .

Nota 4. En Avisos contenía originalmente una larga sección sobre Euler, que finalmente se dividió en un artículo aparte. El artículo muestra, utilizando los escritos de Ferraro como caso de estudio, cómo una suposición de fundamentos weierstrassianos por defecto deforma la visión de un erudito de las matemáticas de Euler. El artículo se publicó recientemente en 2017 en Revista de Filosofía General de la Ciencia .

Nota 5. Una respuesta a la reacción de Craig Fraser se publicó en 2017 en Mat. Stud.; véase esta versión con hipervínculos .

Answer 1

Ciertamente, los vencedores escriben la historia, por lo general. Pero cuando la victoria es tan completa que ya no existe ninguna amenaza, los vencedores a veces creen que pueden tolerar benéficamente una disidencia "dócil". :)

En serio, amigos: habiendo estado en varios lados de estas cuestiones, al menos como aficionado interesado, y habiendo se busca ideas nuevas y descabelladas para trabajar, y tener se busca un exitoso retorno a la intuición de algunos de los argumentos de Euler ... Tendría que decir que en este momento la mejora Schwartz-Grothendieck-Bochner-Sobolev-Hilbert-Schmidt-BeppoLevi (disculpas a todos los que he dejado fuera ...) del análisis intuitivo es en su mayoría mucho más rentable que diversas versiones de "análisis no estándar".

En resumen, la construcción del ultraproducto y "las reglas", en la forma de A. Robinson, son un poco peliagudas (para la gente que tiene motivación externa... quizá carece de formación en teoría de modelos o teoría de conjuntos o...) Libros gordos. Incluso la dudosa "construcción de los reales" según Dedekind o Cauchy es/son menos pesada/s, por muy Rube-Goldberg que parezcan.

En mi opinión, la versión de la "Teoría de Conjuntos Interna" de Nelson, ilustrada de forma muy convincente por Alain Robert en un pequeño libro sobre el tema, consigue una notable simplificación y una mayor utilidad. A estas alturas, después de haber pasado varias décadas aprendiendo análisis moderno, espero encontrar ventajas en ideas no estándar que no estén disponibles ni siquiera en el mejor análisis "estándar", pero no puedo dar fe de ninguna... todavía.

Por supuesto, es de suponer que gran parte del "sesgo" se debe a que relativamente pocas personas han estado trabajando en el análisis desde un punto de vista no estándar, mientras que muchas-muchas lo han hecho desde un punto de vista "estándar", por lo que el sesgo relativo de la ventaja demostrada no es necesariamente indicativo...

Había un artículo de 1986 de C. Henson y J. Keisler "on the strength of non-standard analysis", en J. Symbolic Logic, 1986, quizá citado por A. Robert... que sigue la idea de que una versión bien empaquetada (como en Nelson) de la sutileza set-teórica de la existencia de un ultraproducto es (tal vez no tan-) sutilmente más fuerte que los riffs set-teóricos habituales que usamos al "hacer análisis", incluso con AxCh como se suele invocar, ... lo que en general no es muy grave para ningún caso concreto. No he investigado personalmente esta situación... pero...

Una vez más, "ganar" no es, desde luego, un signo fiable de virtud absoluta. Puede ser un triunfo de relaciones públicas, suerte, etc. En ciertos ámbitos "ganar" sería un estigma...

Y ciertamente los excesos del monstruo del "análisis es teoría de la medida" son desafortunados... Para el caso, una opinión más radical sería que Cantor no habría encontrado ninguna necesidad de inventar la teoría de conjuntos y descubrir problemas si no hubiera tenido una "construcción de los reales".

En resumidas cuentas, para mí, sólo un voto, un dato anecdótico: estoy totalmente abierto a métodos no estándar, si pueden demostrar ser más eficaces que los "estándar". Sí, he invertido un esfuerzo considerable en aprender los "estándar", que, de hecho, muy a menudo están mal representados en la literatura, como monumentos en el desierto a reyes muertos hace mucho tiempo en lugar de puntos de vista útiles, pero, sin embargo, ofrecen una cierta reencarnación de las ideas de Euler ... aunque en un lenguaje diferente.

Es decir, como un estudiante dispuesto a ser un iconoclasta de muchos hilos, creo que (¡¡¡observando el sesgo del número de personas que trabajan para promover y probar la utilidad de varios puntos de vista!!!) un punto de vista épsilon-delta (=clásico) adecuadamente modernizado (= BeppoLevi, Sobolev, Friedrichs, Schwartz, Grothendieck, et al) puede acomodar adecuadamente la intuición de Euler. Hasta ahora, aunque la TSI de Nelson es mucho mejor que las alternativas, no he visto (¿todavía?) que ese punto de vista produzca algo que no fuera comparable desde el punto de vista "estándar" "moderno".

Answer 2

Para dar un ejemplo del tipo de respuesta que se pide aquí, obsérvese que uno de los primeros ejemplos del texto de NAMS es de David Mumford, que escribió sobre la superación de sus propios prejuicios (derivados de lo que le enseñaron sobre los infinitesimales) en los siguientes términos: "En mi propia educación, había asumido que Enriques [y los italianos] estaban irrevocablemente atascados . Tal como lo veo ahora, a Enriques hay que reconocerle el mérito de una demostración geométrica casi completa utilizando, al igual que Grothendieck, deformaciones infinitesimales de orden superior . Tengamos cuidado: ciertamente tenía las ideas correctas sobre la geometría infinitesimal, aunque no tenía la menor idea de cómo hacer definiciones precisas."

Me ha gustado la respuesta de Paul Garrett, aunque está orientada en una dirección ligeramente distinta, a saber, la eficacia de la NSA en la investigación de vanguardia, mientras que mi pregunta se refiere sobre todo a la interpretación histórica y a obtener una imagen precisa del pasado matemático.

Por poner otro ejemplo, el procedimiento de adecuación de Fermat implica un paso en el que Fermat suprime los términos "E" restantes; elige cuidadosamente su terminología y hace no igualarlas a cero. Observaciones similares se aplican a Leibniz. Sin embargo, los historiadores suelen suponer que existe una contradicción lógica en la base de sus métodos, que puede resumirse en la notación de la lógica moderna como $(dx\not=0)\wedge(dx=0)$ . Tales observaciones suelen ir acompañadas de la afirmación de que la supuesta contradicción lógica se resolvió definitivamente hacia 1870. Sin menoscabo de la grandeza de los logros alcanzados en torno a 1870, estas críticas a los primeros pioneros del cálculo pueden no ser acertadas.

Answer 3

(Esto pretende ser una respuesta a un comentario de Pete L. Clark sobre si la historia del análisis fue una "progresión lineal". Debido a su extensión, he decidido publicarlo como respuesta independiente) Estoy de acuerdo en que centrarse en el término "lineal" no es la cuestión. Lo que sí parece una cuestión significativa es la siguiente, estrechamente relacionada.

¿Es correcto considerar que la formalización del análisis en torno a 1870, un avance extremadamente importante según todos los indicios, ha establecido un "verdadero" fundamento del análisis en el contexto del continuo arquimediano y mediante la eliminación de los infinitesimales?

Una opinión alternativa es que el éxito de la formalización arquimediana incorporaba de hecho también un aspecto de fracaso, a saber, la incapacidad de formalizar un aspecto omnipresente del análisis tal como se venía practicando desde 1670: el infinitésimo.

Según el punto de vista alternativo, no existe una corriente, sino dos corrientes paralelas para el desarrollo del análisis, una en el contexto de un continuo arquimediano, tal como se formalizó hacia 1870, y otra en el contexto de lo que podría denominarse un continuo bernoulliano (Johann Bernoulli fue el primero en basar el análisis de forma sistemática y exclusiva en un sistema que incorporaba infinitesimales). Esta vertiente no se formalizó hasta los trabajos de Edwin Hewitt en los años cuarenta, Jerzy Los en la década de 1950, y especialmente Abraham Robinson en la década de 1960, pero sus fuentes se encuentran ya en la obra de los grandes pioneros del siglo XVII.

Por poner un ejemplo, en su reciente artículo (Gray, J.: A short life of Euler. Boletín BSHM. Journal of the British Society for the History of Mathematics 23 (2008), nº 1, 1--12), Gray hace el siguiente comentario:

"En algún momento habrá que admitir que los intentos de Euler de explicar los fundamentos del cálculo en términos de diferenciales, que son y no son cero, son terriblemente débiles" (p. 6). No aporta ninguna prueba de esta afirmación.

Me parece que la arrolladora afirmación de Gray procede de una escuela de pensamiento de "progresión lineal" en la que se atribuye a Weierstrass la eliminación de los infinitesimales lógicamente defectuosos, por lo que, por supuesto, Euler, que utilizaba infinitesimales en abundancia, sería necesariamente "terriblemente débil" sin necesidad de más explicaciones.

Answer 4

Un debate reciente en https://math.stackexchange.com/questions/455871/cauchys-limit-concept es una buena ilustración de la influencia de la ahistoria de retroalimentación (tomando prestado el término de Grattan-Guinness), cuando las ideas de Weierstrass se leen en un autor anterior, pertenezcan o no a él. No cabe duda de que existe una gran controversia histórica en torno a Cauchy. J. Grabiner subraya la importancia de los gérmenes de epsilon, procedimientos delta que pueden encontrarse en ciertos argumentos de la obra de Cauchy. Sin embargo, los procedimientos épsilon, delta definición de límite (en contraposición a los procedimientos que se encuentran en ciertos argumentos) no fue introducido por Cauchy sino por autores posteriores (normalmente se atribuye el mérito a Weiestrass aunque se encuentra una aparición anterior en Dirichlet).

En cualquier caso, el formalización del concepto de límite epsilónico ciertamente no reside en Cauchy. Lo que sí escribió Cauchy sobre los límites es que una cantidad variable tiene límite $L$ si sus valores se acercan indefinidamente a $L$ . Con Cauchy, la noción primitiva es la de cantidad variable, y los límites se definen en términos de esta última de forma casi idéntica a lo que escribió Newton unos siglos antes. Recientemente, jóvenes estudiosos como Bråting y Barany han cuestionado las opiniones recibidas sobre Cauchy.

Mientras tanto, el debate en https://math.stackexchange.com/questions/455871/cauchys-limit-concept procede bajo la suposición explícitamente declarada relativa a la supuesta "formalización de los límites de Cauchy", que es contraria a los hechos. Esta suposición no fue cuestionada por ninguno de los participantes. Esto indica que la comunidad a menudo no es consciente de la verdadera naturaleza del trabajo de Cauchy en análisis, incluida su definición de continuidad expresada en términos de infinitesimales en lugar de épsilon, delta.