¿Existe alguna transformación de base bajo la cual todos los números irracionales son racionales y viceversa?

Question

Por ejemplo, si cambia la longitud de su "escala de unidades" o la base de los números a $\sqrt{2}$ entonces puede representar todos los múltiplos fraccionarios de $\sqrt{2}$ como "números racionales" en el nuevo sistema de bases. ¿Existe alguna transformación complicada en los números, como cambios de base, etc., que convierta los racionales en irracionales y viceversa? Si no, ¿cuál es la razón de este "sesgo" entre racionales e irracionales?

Answer 1

No está claro qué tipo de "transformaciones de base" quieres permitir, pero presumiblemente cualquier cosa sería una biyección $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Pero no hay ninguna biyección $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que intercambia los irracionales y los racionales, porque restringiría a una biyección entre los racionales y los irracionales, y los racionales son contables y los irracionales son incontables.

Answer 2

Ciertamente, no existe una transformación que convierta todo número irracional en racional. Por ejemplo, la división por sqrt(2)sqrt(3). Eso transforma dos irracionales en racionales pero no fija sqrt(5). Para dividir por cualquier producto de una secuencia finita de raíces cuadradas de primos, siempre hay el siguiente y por lo tanto la transformación siempre falla para transformar la siguiente raíz cuadrada de irracional.

Ahora bien, puede haber un matemático cascarrabias que diga "vale, pues divide por la secuencia infinita de raíces cuadradas". Esos siempre encuentran una clase más de números irracionales aún no fijados, por ejemplo la raíz cúbica de tres.

El último argumento sería "ok entonces. dividir por el producto de cada número irracional" Eso es siempre un pequeño cero.

Por lo tanto, no existe ninguna transformación del conjunto de todos los números irracionales a un conjunto no nulo de números racionales.