Es conocido o ¿a dónde conducirá esto?

Question

Estoy undécima de la clase estudiante, recientemente empecé a aprender cálculo. Yo estaba experimentando en varias cosas, y se encontró una cosa nueva. Es como sigue. Consideremos una función de $f(x)$que es continuo. Así que hemos derivado $f^{\prime}(x)$ de esa función, y si hemos de averiguar todos los valores de la función y la derivada existe una interesante vinculación entre ambos.

Que es $$f(b)=f(b-1)+\left\lceil\dfrac{f^{\prime}(b)+f^{\prime}(b-1)}{2}\right\rceil$$ where $\lceil K\rceil$ is the ceil function of K. For example, let us consider $f(x)=x^3,f^{\prime}(x)=3x^2$ and we have $f(1)=1$, so $$f(2)=f(1)+\left\lceil\dfrac{f^{\prime}(2)+f^{\prime}(1)}{2}\right\rceil$$ $$f(2)=1+\left\lceil\dfrac{12+3}{2}\right\rceil=8=2^3$$

Algunos de mis maestros dijo que su ya conocido y que se llama como valor medio el teorema, pero No sé si es que ya existe o es uno nuevo, y lo que es la intuitiva explicación para eso ? Es muy útil para encontrar el próximo punto, a un punto dado. En general sabemos que $f(a+h) \approx f(a) +f^{\prime}(a).h$, pero ¿cómo es esto diferente ?

Si se trata de un trivial pregunta para los expertos aquí presentes, por favor, ¿me disculpan, pero voy a ser feliz en saber la razón.

Gracias !

Answer 1

Una pequeña observación: la declaración de " consideremos una función de $f(x)$ que es continuo. Así que hemos derivado $f'(x)$ de esa función...", no es cierto. Continuidad de una función $f$ en un momento dado de la $x$ no es una condición suficiente para la diferenciabilidad de $f$ en ese punto.

Tomemos, por ejemplo,$f(x)=|x|$; es continua en a $x=0$ pero no diferenciable en ese punto, como la izquierda derivados y derecho derivado son diferentes (en firme), como se puede comprobar rápidamente usando sólo las definiciones.

Answer 2

No trabajo en general. Intente $f(x)=\sqrt[3]{x}$$b=2$; o $f(x)=ax$ para algunos no entero $a$, con cualquier $b$.

También, resulta que no toda función continua tiene una derivada en todas partes (de hecho, algunos no tienen un derivado de cualquier lugar), pero usted aprenderá más acerca de esto, como usted progreso.

Answer 3

O probar $f(x) = \frac{1}{2} x$, b = 1.

Me gustaría señalar por qué esta fórmula no puede ser, posiblemente, a la derecha:

$$f(x)=f(x-1)+\left\lceil\dfrac{f^{\prime}(x)+f^{\prime}(x-1)}{2}\right\rceil$$

se dice que el $f(x)-f(x-1)$ es entero. Eso sería muy triste si sólo pudiéramos cambiar nuestras funciones por valor entero si nos movemos por uno en $x$-eje.

Answer 4

Como Hagen se señaló anteriormente, esto no es cierto incluso para el ejemplo que dio - usted tiene un error de cálculo.

Es cierto que si $f(x)$ es un polinomio cúbico, entonces $$f(b)=f(b-1)+\frac{f'(b)+f'(b-1)-a}{2}$$ where $un$ is the coefficient of $x^3$ en el polinomio.

En particular, si $f(x)=x^3$ $b$ es un número entero, por lo tanto significa que podemos demostrar que:

$$f(b)=f(b-1)+\left\lfloor\frac{f'(b)+f'(b-1)}{2}\right\rfloor$$

Esta fórmula no funciona para general polinomios de grado mayor que $3$, o por la falta de funciones polinómicas $f$.