La distancia de Gromov-Hausdorff y el "conjunto de todos los conjuntos"

Question

Si $X$ y $Y$ son espacios métricos compactos, entonces la distancia Gromov-Hausdorff, $d_{GH}(X,Y)$ describe hasta qué punto $X$ y $Y$ son de ser isométricos. En el Artículo de Wikipedia sobre la distancia Gromov-Hausdorff Actualmente está escrito: "La distancia de Gromov-Hausdorff convierte el conjunto de todas las clases de isometría de los espacios métricos compactos en un espacio métrico". Mi ingenuo intento de hacer esto de forma rigurosa conduce inmediatamente a la conocida cuestión de que el "conjunto de todos los conjuntos" no es, de hecho, un conjunto.

La búsqueda en Google me llevó a la pregunta de MathOverflow, "¿Cuándo es algo demasiado grande para ser un conjunto?" En un comentario bajo la respuesta aceptada, Nate Eldredge escribió: "un espacio métrico compacto tiene como mucho una cierta cardinalidad, y por tanto, fijando un conjunto $S$ de esa cardinalidad, cualquier espacio métrico es isométrico a alguna métrica sobre algún subconjunto de $S$ ." Pero entonces Thierry Zell respondió: "incluso el definición de $d_{GH}$ requiere que se consideren todas las posibles incrustaciones isométricas de $X$ y $Y$ en todos los espacios métricos posibles, por lo que el problema de "demasiado grande" ya se produce a este nivel".

Así que mis preguntas son estas:

1. ¿Cuál es la definición matemáticamente correcta de la distancia Gromov-Hausdorff?

2. ¿Cuál es el teorema matemáticamente correcto que corresponde a la noción heurística de que el conjunto de todos los espacios métricos compactos es un espacio métrico bajo $d_{GH}$ ?

Answer 1

Creo que lo siguiente es correcto, pero puede que alguien tenga que venir a corregirme. Esto ampliará el comentario hecho por Alexander Thumm, más arriba.

Existen espacios métricos que incluyen isométrico copias de cada espacio métrico separable. Ejemplos de estos espacios son $C([0,1])$ la familia de todas las funciones continuas sobre el intervalo unitario con la supra-norma, y El espacio métrico universal de Urysohn $U$ . Como todos los espacios métricos compactos son separables, al fijar dicho espacio $Z$ debería ser posible demostrar que $$d_{GH} (X,Y) = \inf \{ d_H ( i[X], j[Y] ) : i,j\text{ are isometric embeddings of }X,Y\text{, resp., in }Z \}$$

Teniendo esto en cuenta, podemos considerar el cociente del espacio $\mathcal{K} (Z)$ de todos los subconjuntos compactos no vacíos de $Z$ por relación de isometría $\sim$ . Tenga en cuenta que si $K_1,K_2,L_1,L_2$ son subconjuntos compactos de $Z$ con $K_1 \sim K_2$ y $L_1 \sim L_2$ entonces se deduce que $d_{GH} ( K_1,L_1 ) = d_{GH} (K_2,L_2)$ y, por tanto, podemos considerar $d_{GH}$ como una función a partir de pares de $\sim$ -en los reales no negativos. La afirmación de que "el conjunto de todos los espacios métricos compactos es un espacio métrico bajo $d_{GH}$ " es entonces una interpretación informal de " $d_{GH}$ es una métrica en $\mathcal{K} (Z) / \sim$ ."

Answer 2

1) Cómo definir rigurosamente la distancia Gromov-Hausdorff entre dos espacios métricos compactos.

Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos espacios métricos compactos. Como dije en un comentario, no es necesario considerar todas las posibles incrustaciones isométricas de $X$ y $Y$ en cualquier espacio métrico. Cualquier incrustación de este tipo da lugar a una incrustación de $X$ y $Y$ en $X \bigsqcup Y$ (esta última dotada de una pseudodistancia, no de una distancia).

Por lo tanto, sólo hay que considerar todas las posibles pseudodistancias en $X \bigsqcup Y$ cuya restricción en $X$ es la distancia en $X$ y cuya restricción en $Y$ es una distancia en $Y$ . Luego toman el mínimo de la distancia de Hausdorff entre $X$ y $Y$ sobre todas las pseudodistancias compatibles en $X \bigsqcup Y$ . El resultado es la distancia Gromov-Hausdorff.

2) Cómo trabajar rigurosamente con un "conjunto de todos los espacios métricos compactos".

Una proposición dice, ingenuamente, que "el conjunto de todos los espacios métricos compactos, con la distancia Gromov-Hausdorff, es un espacio métrico polaco". En particular, es separable. Se puede demostrar la separabilidad mostrando que el conjunto de [espacios métricos finitos con distancias racionales, hasta la isometría] es denso en el "conjunto" de [todos los espacios métricos compactos, hasta la isometría].

Esta proposición, tal como está, carece de rigor. Sin embargo, podemos utilizarla para construir un "conjunto de todos los espacios métricos compactos, hasta la isometría", de la misma manera que se pueden construir los números reales: mediante la terminación.

• partimos del conjunto $E$ de subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$ dotado de una métrica;

• dotamos $E$ con la pseudodistancia de Gromov-Hausdorff;

• tomamos las clases equivalentes de $E$ con respecto a la relación de equivalencia "siendo isométrica". La pseudodistancia de Gromov-Hausdorff va al cociente y da una distancia verdadera. Esto da un espacio métrico $F$ .

• tomamos la finalización de $F$ con respecto a la distancia Gromov-Hausdorff. Esto da lugar a un espacio métrico polaco, $G$ .

• para cualquier punto $x$ en $G$ construimos un espacio métrico compacto $X_x$ . Este es quizás el punto más delicado; cualquier prueba de la "completitud del conjunto de todos los espacios métricos compactos, con la distancia de Gromov-Hausdorff" debería mostrar cómo hacerlo.

• entonces podemos considerar el conjunto de todos esos espacios métricos compactos, indexados por $G$ . La construcción anterior puede hacerse sin utilizar el axioma de elección (es decir, puede hacerse explícitamente).

• comprobamos que la distancia Gromov-Hausdorff entre $X_x$ y $X_y$ es la distancia entre $x$ y $y$ en $G$ . Por lo tanto, obtenemos un conjunto $H$ de espacios métricos compactos isométricos a $G$ .

• por último, demostrar que cualquier espacio métrico compacto es isométrico a un elemento de $H$ .

El espacio $H$ es el que se busca (ingenuamente, el espacio de todos los espacios métricos compactos, hasta la isometría).