Deje $\mathbb{F}_{1}$ $\mathbb{F}_{2}$ campos, y deje $\mathbb{F}_{1}^{\ast}$ $\mathbb{F}_{2}^{\ast}$ el valor de los correspondientes grupos de unidades. Si $\mathbb{F}_{1}$ $\mathbb{F}_{2}$ no elementarily equivalente en el idioma de los anillos, no se sigue que la $\mathbb{F}_{1}^{\ast}$ $\mathbb{F}_{2}^{\ast}$ no elementarily equivalente en el idioma de los grupos? Por ejemplo, $\mathbb{R} \not\equiv \mathbb{C}$, e $\mathbb{R}^{\ast} \not\equiv \mathbb{C}^{\ast}$ desde (por ejemplo) la frase $$ \exists x \ x^4 = 1, x^2 \neq 1 $$ holds in $\mathbb{C}^{\ast}$ and does not hold in $\mathbb{R}^{\ast}$. Similarly, $\mathbb{Q} \no\equiv \mathbb{R}$, and $\mathbb{Q}^{\ast} \no\equiv \mathbb{R}^{\ast}$ since (for example) the sentence $$ \exists x \ x^2 = 1, x \neq 1, \forall y \ \exists z \ (y = z^2) \vee (xy = z^2)$$ holds in $\mathbb{R}^{\ast}$, but not in $\mathbb{Q}^{\ast}$.
Es natural considerar el contrapositivo de este problema: ¿es cierto que $\mathbb{F}_{1}^{\ast} \equiv \mathbb{F}_{2}^{\ast} \Longrightarrow \mathbb{F}_{1} \equiv \mathbb{F}_{2}$? Sospecho que esto no es en general cierto, principalmente porque hay muchos ejemplos bien conocidos de los grupos a los que se elementarily equivalentes, pero no isomorfos. Por lo que parece plausible que uno puede utilizar los grupos de $G_{1}$ $G_{2}$ que son conocidos para satisfacer $G_{1} \equiv G_{2}$ $G_{1} \not\cong G_{2}$ construir elementarily no equivalentes campos de $\mathbb{F}_{1}$ $\mathbb{F}_{2}$ de manera tal que el subyacente grupo multiplicativo de a $\mathbb{F}_{1}$ (resp. $\mathbb{F}_{2}$ ) $G_{1}$ (resp. $G_{2}$).
Por ejemplo, se sabe que dado un grupo abelian $A$, $A$ ha ilimitado exponente si y sólo si $A \equiv A \oplus \mathbb{Q}$ (Lema A. 2.4. en Hodges' "Modelo de la Teoría"). Por lo tanto, $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q} \equiv \mathbb{Q}$. Pero es el grupo aditivo $\mathbb{Q}$ la subyacente grupo multiplicativo de un campo? Es $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}$ el grupo de unidades de un campo?
Ya en 1960, Laszlo Fuchs pidió que abelian grupos puede ser realizado como subyacente grupo multiplicativo de un campo. Esta pregunta sigue en gran medida sin respuesta. Sin embargo, se sabe que:
Teorema: Un trivial de torsión libre divisible grupo abelian $G$ tiene rango infinito si y sólo si $G$ puede ser realizado como subyacente grupo multiplicativo de un campo (ver "Divisible Multiplicativo de los Grupos de Campos" por Greg Omán).
Por lo tanto, existen campos de $\mathbb{F}_{1}$ $\mathbb{F}_{2}$ tal que $\mathbb{F}_{1}^{\ast} = \mathbb{Q}$$\mathbb{F}_{2}^{\ast} = \mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}$. Pero no es evidente la existencia o no de estos campos son elementarily equivalente.
