Versión cuántica de la Junta de Galton

Question

Si las partículas clásicas caen a través de un tablero de Galton se amontonan en el límite de los grandes números como una distribución normal, véase por ejemplo http://mathworld.wolfram.com/GaltonBoard.html

¿Qué tipo de distribución se vería, si las partículas obedecieran las leyes de la mecánica cuántica (como experimento mental)? ¿Los efectos de interferencia no llevarían a una distribución diferente a la normal?

Answer 1

Te puede gustar este documento de 110 páginas escrito por mí y por Alex Arkhipov que trata de un análogo bosónico cuántico del tablero de Galton (incluso utilizamos el mismo gráfico que usted - ¡véase la sección 1.1!). En particular, dimos pruebas sólidas de que dicho tablero (con una configuración arbitraria de "clavijas" y con múltiples puntos de entrada para las "bolas") es exponencialmente difícil incluso de simular utilizando un ordenador clásico. Esto sugiere que dicha placa cuántica de Galton (que ahora se denomina "BosonSampler") podría utilizarse como un ordenador cuántico rudimentario de prueba de principio. Y, de hecho, en el último año se realizaron los primeros experimentos de BosonSampling en óptica lineal (véase ici ), aunque hasta ahora sólo con 3 fotones.

Para que nuestro argumento sobre la dureza computacional funcione, necesitamos dos supuestos cruciales:

(1) Las "bolas" tienen que ser indistinguible partículas. Si son distinguibles, entonces la distribución de una bola individual podría seguir mostrando franjas de interferencia. Pero una vez conocida la distribución de probabilidad de una bola, la distribución de n bolas se obtendría simplemente muestreando esa distribución n veces de forma independiente, lo que produciría el comportamiento "convencional y clásico" de la Ley de los Grandes Números. Por el contrario, las partículas cuánticas idénticas pueden llegar a estar "correlacionadas" incluso si nunca han interactuado explícitamente, como se ve, por ejemplo, en la Inmersión de Hong-Ou-Mandel .

(2) Las "bolas" tienen que ser bosones . En ese caso, sus amplitudes de transición están dadas por nxn matrices permanentes, cuyo cálculo es un famoso problema difícil en informática. En cambio, si las bolas son fermiones, sus amplitudes de transición vienen dadas por nxn determinantes que son fáciles de calcular clásicamente.

Por supuesto, también hay una forma más "estrecha" de interpretar tu pregunta, que podría estar más cerca de lo que realmente estabas preguntando. A saber, en lugar de un tablero "arbitrario" tipo Galton, podríamos considerar la geometría específica de la figura: digamos que una red de interferómetros 50/50 dispuestos en forma de diamante en el plano, con una única fuente de partículas en la parte superior. Y entonces podríamos calcular (o, si somos más perezosos, simular numéricamente...) la distribución de probabilidad particular sobre los resultados de n partículas a los que conduce esa configuración, bajo dos supuestos diferentes:

(1) Que las partículas sean distinguibles. (En este caso, por supuesto, el problema se reduce a elaborar la distribución para una sola partícula).

(2) Que las partículas son bosones indistintos.

(Obsérvese que un tercer caso, que las partículas sean fermiones indistinguibles, nunca se plantea, ya que por el principio de exclusión de Pauli, n fermiones idénticos ni siquiera podrían "caber" simultáneamente a través de la única fuente de la parte superior).

Si tengo algo de tiempo más tarde, puede que elabore las respuestas y las publique aquí - pero mientras tanto, cualquier otra persona debería sentirse libre de hacerlo primero.

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Adenda: Bien, consideremos el caso de una sola partícula cuántica que atraviesa una red "en forma de diamante" de interferómetros 50/50. En ese caso, la distribución de probabilidad después de n pasos vendrá determinada, no por la n th fila del triángulo de Pascal (como en el caso clásico), sino por la n th fila de lo que podríamos llamar el "triángulo de Pascal interferométrico". Este último se define de la siguiente manera: sea A(i,j) el j th entrada en la fila i. Entonces:

A(0,0)=1

A(0,j)=0 para todo j≠0

Para i+j positivo e impar: A(i,j)=A(i-1,j)+A(i-1,j+1)

Para i+j positivo y par: A(i,j)=A(i-1,j-1)-A(i-1,j)

Estoy casi seguro de que el resultado se aproximará asintóticamente al comportamiento estándar para el "paseo aleatorio cuántico por la línea": véase ici o ici para obtener una buena visión general. En particular, la distribución no se parece en nada a la gaussiana: en su lugar debería ser casi uniforme, excepto con un montón de picos oscilantes cerca de los dos bordes El tamaño de los picos se amortigua a medida que se acerca al centro. (Ver los artículos enlazados para ver imágenes de ejemplo).

Una pequeña advertencia es que los análisis habituales de los paseos aleatorios cuánticos suponen que hay una "moneda" (es decir, un grado de libertad interno de espín-1/2), mientras que yo he utilizado una disposición escalonada de interferómetros para eliminar la necesidad de la moneda. Yo no piense en que afecta al comportamiento cualitativo del paseo, pero no tengo una prueba.