Cómo la fuerza de los números primos en una línea?

Question

Inspirado por un artículo sobre el Primer Espiral y Hough transformar traté de analizar los patrones creados por el trazado de los números en espiral (de Arquímedes?).

$$x = \cos( ángulo ) * radio$$ $$ $ y = \sin( angle ) * radio$$

donde el ángulo y el radio se incrementa en un valor constante

Ninguna sorpresa hasta el momento.

Cuando no todos los números primos son suprimido este ray patrón aparece en un punto específico (la manipulación de los incrementos de la espiral):

Resultó que el incremento del ángulo es exactamente $$\cfrac{\pi}{30}$$

Todos los números primos son en 16 líneas (sin tener en cuenta que los primeros números que probablemente no coincida con el esquema).

Configuración de los incrementos de $$\cfrac{\pi}{3}$$

conduce a la (puntos blancos son números primos):

La creación de reflejo de ellos en el eje x, no parece ayudar a tener ellos en una sola línea. Porque hay algunos que no los números primos en las líneas.

¿Qué podía hacer la fuerza a una sola línea recta?

Si este patrón es una conocida propiedad de los números primos ¿cómo se llama?

En caso de que a alguien le gustaría experimentar he añadido el código fuente java en github

Relacionado con:

Significado de los Rayos en el diagrama Polar de los Números Primos

Answer 1

Hay 2 comportamientos pasando aquí.

En su última foto, es fácil ver que todos los números de la mentira en el 6 rayos a través del origen. Por qué? Esto es porque hay $2\pi$ radianes en un círculo, y que se incrementa en $\pi/3$ radianes cada vez (que es de 1/6 de la circunferencia). Esta es la razón por la que usted está recibiendo distintos rayos.

El otro tipo de conducta que se produce cuando sólo mira los números primos. En la segunda foto (la que consta de sólo números primos), no hay espacio para 60 rayos (ya que el incremento por $\pi/30$ radianes, que es 1/60 de un círculo cada vez). Así, la nueva pregunta es, ¿por qué sólo 16 rayos parecen?

La respuesta es que $\varphi(60) = 16$, lo que significa que sólo hay 16 residuo clases de números primos para encajar en el mod de los 60. Dicho de otra forma sólo hay 16 soluciones a $p \equiv x \pmod {60}$ en $x$, donde $p$ rangos a través de todos los números primos. Así que hay 16 distinguido rayos que contiene los números primos.

Del mismo modo, hay dos distinguidos rayos en la última imagen, que es la razón por la que sólo puede ver los números primos en 2 de los rayos.

Usted puede estar interesado en saber que la propiedad de ser un rayo que contiene los números primos no será origen simétrico, pero espejo simétrico sobre la línea horizontal $y = 0$. Esto tiene que ver con la forma $\gcd(x,n) = \gcd(n-x,n)$, y el orden en el que están tramando estos rayos.

Para responder a su última pregunta, es posible representar todos los números primos (excepto 2) en la misma línea mediante el uso de $\pi$ como su incremento, o mediante el uso de $2\pi$ como su incremento. El primero es equivalente a decir que todos los números primos, excepto $2$ son impares. La segunda realidad pone todos los números en una sola línea.

Answer 2

Vagamente, lo que está pasando aquí es que estás descubriendo la noción de residuo de la clase. Si usted mira cuidadosamente, usted descubrirá que todos los puntos de su original espiral de hecho se encuentran en un conjunto finito de 60 líneas por el origen: una línea por cada $6^\circ$ o por cada $\frac\pi{30}$ radianes. Esto significa que lo que la línea de un número es determinado por su resto cuando se divide por $60$: $19$ está en la misma línea de $79 dólares, 139, 199, \ldots$ Por comodidad, vamos a la etiqueta de estas líneas por el menor número positivo en ellos (esto se llama el residuo de la clase de todos los números de la línea, $\bmod 60$). Ahora, considere la posibilidad de:

• Cada número (mayor que 2) se mantiene incluso después de la adición de 60, por lo que ninguno de sus 'hasta' líneas de más de, posiblemente, uno de los prime. Esto significa que no primos (que no sea sólo una transitoria que podemos ignorar) puede ser en las líneas con etiquetas $0, 2, 4, 6, 8, 10, \ldots, 56, 58$.
• Cada múltiplo de 3 (mayor de 3) sigue siendo un múltiplo de 3, después de la adición de 30 a ella, por lo que ninguno de los múltiples-de-tres líneas de más de, posiblemente, uno de los prime; por lo que no primos (de nuevo, salvo que uno ignorable excepción) se puede en las líneas con etiquetas $3, 6, 9, \ldots, 54, 57$.
• Y lo mismo sucede con los múltiplos de 5, por lo que no obtenemos los números primos en las líneas con etiquetas $5, 10, 15, \ldots, 50, 55$.

Una vez que usted toma todo en cuenta, usted encontrará que las únicas líneas que posiblemente puede tener un número infinito de números primos en ellos, son las líneas marcadas $1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59$ - estas son las dieciséis líneas que usted encuentra en su ray patrón.

Como para saber si usted puede obtener todos los números primos en una sola línea de esta manera, la respuesta es no (a menos que utilice un gran ángulo de incremento de su espiral que todos sus puntos se encuentran en el x o y ejes), pero el razonamiento es un poco compleja: resulta que para cualquier número $n$, hay una infinidad de números primos que son de la forma $k\times n+1$ (o primos que están en la línea de la etiqueta '$1$'), y existen infinitos números primos de la forma $k\times n-1$ (o primos en la línea de la etiqueta '$n-1$'). Esto significa que usted va a obtener al menos un par de líneas para cualquier angular de incremento, y en el hecho de que usted va a conseguir más que eso - el número de líneas que debe esperar a tener los números primos en ellos es (esencialmente) igual a la de Euler Totient función $\phi(n)$, que cuenta con los números de menos de $n$ que son relativamente primos a $n$ (es decir, no tienen factores comunes con $n$), y se sabe que $\phi(n)$ crece como $n$, en el sentido de que para cualquier $K$ hay sólo un número finito de valores de $n$ donde $\phi(n)$ es de menos de $K$.

Pero, ¿cómo saber que todas estas líneas tendrán los números primos? (Se debe tener claro que los números primos pueden sólo se muestran en estas líneas, por una variante del argumento que me dio anteriormente). Bien, ese es el contenido del Teorema de Dirichlet, que básicamente dice que para cualquier progresión aritmética, siempre y cuando usted sabe que los valores de la progresión son relativamente primos, siempre habrá un número infinito de números primos en esa progresión. Aquí, la "radio" en sus renders representan estas progresiones.

Answer 3

Vamos a corregir algunas anotaciones primero: en coordenadas polares de una espiral de Arquímedes es una curva en el plano real (es decir, la "costumbre" del plano con coordenadas sobre los números reales) $$ r = a + b \cdot \theta $$ para algunos fijos constantes $a,b \in \Bbb{R}$ con $b \neq 0$. Aquí $r$ y $\theta$ representar el radio y el ángulo de un punto dado, respectivamente.

Ahora, inspeccionando el código parece que usted está asignando a cada número entero positivo de $n$ el punto con coordenadas polares $(n \cdot b \cdot \varphi , n \cdot \varphi)$ donde $$ \varphi = \frac{\pi}{30} \qquad \text{y} \qquad b\varphi = \frac{1}{40} = 0.025 $$

Ahora, observa que los dos puntos se encuentran en el mismo rayo si y sólo si tienen el mismo ángulo (modulo de $2\pi$). En particular, dos enteros positivos m$,$ n se encuentran en la misma ray si y sólo si $m \varphi = n \varphi + 2k\pi$ $k \in \Bbb{Z}$, es decir, $$ (m-n) \varphi = 2k\pi $$ tomando $m = 3$ y $n = 2$ da $\varphi = 2k\pi$ para algún entero $k$.

Esto implica, sin embargo, que cada entero positivo se tiene que estar en la misma línea, no sólo de los números primos. En realidad, esto ya está sucediendo, incluso en su última imagen: si la trama de los otros números también, y no sólo los números primos, verá que se encuentran en la misma $$ 6 = 2\pi \cdot \frac{3}{\pi} $$ rayos, demasiado.