El número más pequeño con un número específico de divisores

Question

¿Existe un método general para encontrar el menor número de divisores específicos? Estoy haciendo "Álgebra Superior por Barnard JM Child" y me encontré con una pregunta que "encontrar el número más pequeño con 24 divisores", así es como traté de resolverlo, alertándome si me equivoco:

Desde $24$ no puede tener más de $4$ factor primo, así que el número no puede tener más de 4 factores primos.

Como un solo número es..: $2$ ^ ${23}$

como producto de dos números: $2^5*3^3$ , $2^{11}*3$ , $2^7*3^2$ , desde $5+3<7+2<11+1$ así que $2^5*3^3$ es el mínimo de estos números

como producto de tres números: $2^5*3*5$ , $2^3*3^2*5$ desde $3+2+1<5+1+1$ Por lo tanto $2^3*3^2*5$ es el menor de dos

como producto de 4 números $2^2*3*5*7$

$k= \min (2^{23},2^5*3^3,2^3*3^2*5,2^2*3*5*7)$

\= $2^3*3^2*5=360$

El método anterior parece ser sospechoso y laborioso, ¿hay un enfoque general para encontrar el número más pequeño con un número específico de divisores?

Answer 1

Este enfoque no es para nada sospechoso, pero puede ser laborioso. Tenga en cuenta que no puede utilizar $5+3 \lt 7+2$ para concluir que $2^5*3^3 \lt 2^7*3^2$ Aunque es cierto, hay que tomar la proporción y utilizar $3 \lt 2^2$ . Por ejemplo, si se busca $36$ factores, una comparación sería $2^8*3^3$ frente a $2^5*3^5$ . A pesar de que $5+5 \lt 3+8, 2^5*3^5=7776 \gt 6912=2^8*3^3$ . Puede tomar registros y comparar $5 \log 2 + 3 \log 3$ con $7 \log 2 + 2 \log 3$ para hacerlo bien.

No conozco una forma más fácil. Su ejemplo muestra el fracaso de un algoritmo codicioso. Factorizar el número deseado de factores, aquí como $3*2^3$ . Empezando por el factor más grande, encuentra la forma más barata de conseguir ese número. Así que empieza con $2^2$ que tiene $3$ factores. Ahora tienes que duplicarlo. Puedes multiplicar por un nuevo primo, claramente $3$ o aumentar el exponente de $2$ a $5$ . Como el primero tiene un factor $3$ y el segundo $8$ elegimos $2^2*3$ Ahora queremos duplicar de nuevo, y nuestras opciones son $2^3, 3^2, \text{ or } 5$ y tomamos $5$ , dando $2^2*3*5$ Una duplicación más viene de $7$ y llegamos a $2^2*3*5*7=420$ No es lo mejor.

Answer 2

Tome cualquier número $N=p_1^{m_1}...p_k^{m_k}$ , donde $p_i$ son sus divisores primos, y calcula cuántos divisores tiene. Cada divisor sería un producto de los mismos primos en distintas potencias, $D=p_1^{d_1}...p_k^{d_k}$ , donde $0\leq d_i \leq m_i$ . Diferentes divisores tienen diferentes colecciones de potencias, por lo que el número de divisores será $(m_1+1)(m_2+1)...(m_k+1)$ .

Ahora vamos a encontrar el más pequeño $N$ tal que $(m_1+1)(m_2+1)...(m_k+1)=24$ . Sólo hay pocas posibilidades de descomponer 24 en un producto de números decrecientes: $3*2*2*2=4*3*2=6*4=6*2*2=8*3=12*2=24$ . Los candidatos correspondientes con los primos más pequeños elegidos para las potencias más pequeñas serían estos:

$2^{3-1}*3^{2-1}*5^{2-1}*7^{2-1}=2^2*3*5*7=420$

$2^{4-1}*3^{3-1}*5^{2-1}=2^3*3^2*5=360$

$2^5*3^3=2592$

$2^5*3*5=480$

$2^{11}*3=6144$

$2^{23}=8388608$

Entonces elige el más pequeño, que resulta ser 360.

Answer 3

A005179 enumera algunos recursos sobre el problema. En particular:

Grost, M. (1968). The Smallest Number with a Given Number of Divisors. The American Mathematical Monthly, 75(7), 725-729. doi:10.2307/2315183

De la introducción:

Dado $h = q_1 q_2 \dots q_n$ , con primos $q_1 \ge q_2 \ge \dots \ge q_n$ , dejemos que $A(h)$ sea el menor número con $h$ divisores.

En muchos casos, $$A(h) = 2^{q_1-1} 3^{q_2-1} \dots p_n^{q_n-1}$$

El objetivo principal del documento es determinar las excepciones.

Llamamos a estos números ordinario , de R. Brown, The minimal number with a given number of divisors, Journal of Number Theory 116 (2006) 150-158. En este documento, Brown muestra casi todos los $A(h)$ son ordinarios, en particular "Demostramos aquí que todos los números sin cuadrado son ordinarios y que el conjunto de los números ordinarios tiene densidad natural uno".