Orden Total en los números complejos

Question

Muestran que no existe una relación $\succ$ entre números complejos tales que

(i) Para cualquier par de números complejos $z,w$, una y sólo una de las siguientes es verdadera: $z\succ w,w\succ z,$ o $z=w$

(ii) Para todos los $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$ la relación $z_1\succ z_2$ implica $z_1+z_3\succ z_2+z_3$.

(iii) Para todos los $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$$z_3\succ 0$, $z_1\succ z_2$ implica $z_1z_3\succ z_2z_3$.

Supongamos $i\succ 0$. (Iii) tenemos $i^2\succ 0$, lo $-1\succ 0$, por lo que la aplicación (ii)$0\succ 1$. Pero la repetición (iii) en $-1\succ 0$ obtenemos $1\succ 0$, una contradicción. Así que o $i=0$ o $0\succ i$.

¿Cómo puedo continuar a partir de aquí?

Answer 1

$i\ne 0$ desde $i$ tiene una inversa, sino $0$ no. Ahora sólo tenga en cuenta que todos los cuadrados son positivos, y así que el argumento que dio mantiene fiel palabra por palabra si empezar por asumir que $i\prec 0$. El punto es, que en $\mathcal C$ el número de $-1$ es un cuadrado. En cualquier ordenó campo, $1\ge 0$ y todos los cuadrados son positivos. No importa cual de las dos raíces cuadradas de $-1$ utiliza, obtendrás la misma contradicción.