Correlación entre el seno y el coseno

Question

Supongamos que $X$ se distribuye uniformemente en $[0, 2\pi]$ . Dejemos que $Y = \sin X$ y $Z = \cos X$ . Demuestre que la correlación entre $Y$ y $Z$ es cero.

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Parece que necesitaría saber la desviación estándar del seno y del coseno, y su covarianza. ¿Cómo puedo calcularlas?

Creo que tengo que asumir $X$ tiene una distribución uniforme, y la mirada a las variables transformadas $Y=\sin(X)$ y $Z=\cos(X)$ . Entonces la ley del estadístico inconsciente daría el valor esperado

$$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$$ y $$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$$

(la densidad es constante ya que se trata de una distribución uniforme, por lo que se puede desplazar fuera de la integral).

Sin embargo, esas integrales no están definidas (pero tienen valores principales de Cauchy de cero, creo).

¿Cómo podría resolver este problema? Creo que conozco la solución (la correlación es cero porque el seno y el coseno tienen fases opuestas) pero no encuentro cómo derivarla.

Answer 1

Desde

$$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$$

la correlación también debe ser 0.

Answer 2

I realmente Me gusta el argumento de @whuber de la simetría y no quiero que se pierda como un comentario, así que aquí es un poco de elaboración.

Consideremos el vector aleatorio $(X, Y)$ , donde $X = \cos(U)$ y $Y = \sin(U)$ , para $U \sim U(0, 2 \pi)$ . Entonces, porque $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ parametriza el círculo unitario por la longitud de arco, $(X, Y)$ se distribuye uniformemente en el círculo unitario. En particular, la distribución de $(-X, Y)$ es la misma que la distribución de $(X, Y)$ . Pero entonces

$$ - \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y) $$

por lo que debe ser que $\text{Cov} (X, Y) = 0$ .

Un hermoso argumento geométrico.