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¿Cuál es el primo más pequeño de la forma $n^n+5$ ?

Este se pregunta por el primo más pequeño de la forma $n^n+8$ . Sin embargo, no he podido encontrar un primo de la forma $n^n+5$ donde $n$ es natural, suponiendo que tomemos $0^0=1$ .

Si $n$ es impar, entonces $n^n+5$ es uniforme. Si $n \equiv 2 \mod 6$ o $n \equiv 4 \mod 6$ entonces $n$ es par y $\gcd(n,3)=1$ y, por tanto, por el teorema de Euler-Fermat $n^n \equiv 1 \mod 3$ y por lo tanto $n^n+5 \equiv 0 \mod 3$ .

Por lo tanto, sólo los números de la forma $n=6m$ puede calificar. Por supuesto, también se necesita que $n$ no es divisible por 5. También he comprobado $n \leq 71$ no son primordiales.

Así que me pregunto si existe un primo de la forma $n^n+5$ y si es así, ¿cuál es la más pequeña?

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$144^{144}+5$ parece ser el primero no divisible por primos pequeños (entre los cuales $67$ y $83$ parecen ocurrir con bastante frecuencia), pero sigue siendo compuesto ...

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@HagenvonEitzen ¡Sí! Es divisible por $12{,}090{,}863$ . Esto se puede encontrar rápidamente con el siguiente programa ingenuo PARI/GP: forprime(p=2,,Mod(144,p)^144+5==0&&print(p)) Pasa por todos los primos $p$ de $p=2$ y arriba y comprueba si el ellement $144$ en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ satisface $x^{144}+5\equiv 0$ y si es así, pasa a print(p) .

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Martin Puntos 106

$444^{444}+5$ es primo, y es el más pequeño de esa forma. El siguiente es $3948^{3948}+5$ .

perl -Mntheory=:all -Mbigint -E 'for (1..1e5) { say if is_prime((0+$_)**$_+5); }'

Es un poco más rápido usando -Mbigint=lib,GMP o -MMath::GMP=:constant . Un poco menos de 0,3 segundos para encontrar el primero, aunque esto es utiliza una prueba robusta de PRP en lugar de hacer una prueba.

Ver: entrada de factordb para un certificado de primalidad.

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Supongo que no lo has encontrado manualmente. ¿Cómo lo has hecho?

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@user254665, he añadido el one-liner que he utilizado. Seguirá buscando más, y por supuesto se vuelve más lento a medida que crecen. Podrías hacer lo mismo con Pari/GP, Mathematica, etc.

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$444^{444}+5$ Es gigantesco. Sin embargo EL SIGUIENTE es el 3948. Supongo que hay que editar.

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