si el tamaño de la muestra $n$ no es una fracción tan pequeña del tamaño de la población $N$ como en su ejemplo, y si se muestrea sin reemplazo [Sw/oR], una mejor expresión para el SE [estimado] es
$$\hat{SE} = \sqrt{\frac{N - n}{N}\frac{\hat p \hat q}{n}},$$
donde $\hat p$ es la proporción estimada $j/n$ y $\hat q = 1- \hat p$ .
[el término $\frac{N-n}{N}$ se denomina FPC [corrección de la población finita].
aunque el comentario de whuber es técnicamente correcto, parece sugerir que nada puede hacerse para obtener, por ejemplo, un intervalo de confianza para la verdadera proporción $p$ . si $n$ es lo suficientemente grande como para que una aproximación normal sea razonable [ $np > 10$ , digamos], es poco probable que se consiga $j=0$ . además, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande para una aproximación normal utilizando el verdadero $SE$ para ser razonable, utilizando $\hat{SE}$ en su lugar también da una aproximación razonable.
[si su $n$ es realmente pequeño y se utiliza Sw/oR, es posible que tenga que utilizar la distribución hipergeométrica exacta para $j$ en lugar de una aproximación normal. si hace SwR, el tamaño de $N$ es irrelevante y se pueden utilizar métodos binomiales exactos para obtener un IC para $p$ .]
en cualquier caso, ya que $p(1-p) \le 1/4$ Siempre se puede ser conservador y utilizar $\frac{1}{2\sqrt{n}}$ en lugar de $\sqrt{\frac{\hat p \hat q}{n}}$ en lo anterior. si se hace eso, se toma una muestra de $n = 1,111$ para obtener un ME estimado [margen de error = 2 $\hat {SE}$ ] de $\pm$ .03 [independientemente del tamaño $N$ es!].
