¿Actúa el grupo de los difeomorfismos de forma transitiva en el espacio de las métricas de Riemann?

Question

Dejemos que $M$ ser un colector suave (tal vez compacto, si eso ayuda). Denotemos por $\operatorname{Diff}(M)$ el grupo de difeomorfismos $M\to M$ y por $R(M)$ el espacio de las métricas de Riemann en $M$ . Obtenemos una acción de grupo canónica $$ R(M) \times \operatorname{Diff}(M) \to R(M), (g,F) \mapsto F^*g, $$ donde $F^*g$ denota el pullback de $g$ a lo largo de $F$ . ¿Es esta acción transitiva? En otras palabras, ¿es posible que dos métricas riemannianas cualesquiera $g,h$ en $M$ para encontrar un difeomorfismo $F$ tal que $F^*g=h$ ? ¿Conoce alguna referencia para este tipo de preguntas?

Answer 1

Este mapa no será transitivo en general. Por ejemplo, si $g$ es una métrica y $\phi \in Diff(M)$ entonces la curvatura de $\phi^* g$ va a ser el retroceso de la curvatura de $g$ . Así que no hay manera de que una métrica con curvatura cero sea difeomorfa a una variedad con curvatura no cero. O por ejemplo, si $g$ es einstein $(g = \lambda Ric)$ entonces también lo es $\phi^* g$ . Así que hay muchos invariantes de difeomorfismo de una métrica.

De hecho, esto debería tener sentido porque se puede pensar en un difeomorfismo como algo pasivo, es decir, como un simple cambio de coordenadas. Entonces todas las cosas naturales de la geometría riemanniana de una variedad deberían ser coordenadas ( $\Leftrightarrow$ difeomorfismo) invariante.

Answer 2

¿Y la acción del grupo de difeomorfos C^1? No hay restricciones de curvatura, por lo que parece que estamos cerca del marco del teorema de Nash...

Answer 3

El grupo de difeomorfismo C^1 no actúa de forma transitiva en el espacio de las métricas riemannianas sobre una variedad compacta. Por ejemplo, dos círculos de distinto radio tienen diámetros diferentes y por pullback podemos "copiar" la métrica de uno de ellos en el otro. Haciendo esto obtenemos dos métricas sobre un círculo con diámetros diferentes, por lo que no pueden estar relacionadas con C^1.

Por lo tanto, el punto es que "el diámetro" es un C^1-invariante por lo tanto una homotecia de la métrica cambiar el diámetro y la "nueva métrica" tienen diferente diámetro.

Para las variedades no compactas, utilizando un teorema de Nomizu, existen métricas riemannianas completas y no completas. Véase http://www.oberlin.edu/faculty/jcalcut/Nomizu_Ozeki_1961.pdf

Dado que la "completitud" es un invariante de C^1 obtenemos que el grupo de difeomorfismo de C^1 no actúa transitivamente sobre el espacio de las métricas riemannianas.

h.

Answer 4

No. en realidad en superficies cerradas, todas las métricas de curvatura -1 el módulo diffs+(S) es el espacio del módulo de teichmuller