El ángulo de $168^\circ$ es edificable

Question

Demostrar que el ángulo de $\theta=168^\circ$ es edificable con una regla y un compás.

Es suficiente para mostrar que el número de $\cos\theta$ es edificable, y WolframAlpha dio a $\cos\theta=\frac18 (1-\sqrt5)-\frac14 \sqrt{{\frac32} (5+\sqrt5)}$. Creo que después de que es inmediata, porque primero agregamos $\sqrt5$ $\mathbb{Q}$y, a continuación, agregue $\sqrt{{\frac32} (5+\sqrt5)}$, por lo que ambas extensiones son de grado $2$. Pero entonces, ¿cómo podemos encontrar la representación de $\cos\theta$? Y es que hay una manera mejor?

EDIT he encontrado en internet un lugar fresco criterio: ¿podemos afirmar que la orden de $168^\circ$$15$, ya que el $168*15$ es divisible por 360, y entonces a partir de la $15=3\times5$ es un producto de números primos de Fermat hemos terminado? Y si es así, ¿tenemos que revisar todos los números de $1,...,15$ al ve $15$ es de hecho el pedido?

Answer 1

Sí es edificable.

La canónica pentágono es, de hecho, edificable, como se mencionó en el OP, y así es su ángulo $$ \varphi=\frac{3\pi}{5}=\frac{540^\circ}{5}=108^\circ $$ También se $60^\circ$ es el ángulo de un triángulo equilátero, y por lo que es otro edificable ángulo.

Por lo tanto $\vartheta=108^\circ+60^\circ=168^\circ$ también es edificable.

Answer 2

El 5gon y 6gon son construibles, por lo tanto también lo son los ángulos $72^\circ$ $60^\circ$ Tenga en cuenta que $168^\circ=14\cdot(72^\circ-60^\circ)$.