Express Entero como Suma de Dos Cuadrados

Question

Hay un método general para expresar números enteros como la suma de dos cuadrados o sólo te tienes que ser bueno con los números? Por ejemplo, considere el siguiente problema:

Express 605 como la suma de dos cuadrados

Ahora, yo creo que una solución para este problema existe porque $605 = 5 \cdot 11^2$ $11 \equiv 3 \pmod 4$ que aparece un número par de veces y $11$ es el único número en la factorización prima que es congruente a $3 \pmod 4$.

Así que mirando este problema, ¿cuáles son los primeros pasos que usted debe tomar para intentar resolver este problema? Hay una forma rápida de ir sobre esto?

Answer 1

Yo no soy un experto, pero a partir de la memoria algo que resulta se llama la Brahmagupta–Fibonacci de identidad o, en ocasiones, Diophantus identidad (utilizado de manera constructiva en la prueba del resultado de Fermat) podría ser útil: véase Wikipedia.

$$\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) = \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2 = \left(ac+bd\right)^2 + \left(ad-bc\right)^2$$

Esto le permite a la franja de factores de una en una.

Donde tienes plazas en la factorización, como en el $5\cdot 11^2$ de los casos, tenga en cuenta que la plaza puede ser factorizado como $(p^2+q^2)m^2 = (pm)^2 + (qm)^2$