La pregunta es: ¿Cuál es la longitud del arco de todos modos?
Una posible definición es la siguiente: Para $\epsilon>0$, considerar todos los punto de secuencias de $a=x_0,x_1,\ldots, x_n=b$ de manera tal que todos los $x_i$ están en el círculo (o en cualquier otro conjunto $S$ con respecto a lo que queremos medir una longitud de arco) y la distancia $d(x_i,x_{i+1})$$x_i$$x_{i+1}$$<\epsilon$. Deje $d_\epsilon(a,b)$ ser el infimum de $d(x_0,x_1)+d(x_1,x_2)+\ldots +d(x_{n-1},x_n)$ sobre tales secuencias. Entonces la longitud del arco de $a$ $b$puede ser definido como:$\lim_{\epsilon\to 0} d_\epsilon(a,b)$.
Por la desigualdad de triángulo, $$d(x_0,x_1)+d(x_1,x_2)+\ldots +d(x_{n-1},x_n)\ge d(x_0,x_n)=d(a,b)$$ for all considered point sequences. Hence $d_\epsilon(a,b)\ge d(a,b)$ for all $\epsilon$, y por lo tanto, la misma desigualdad se cumple para el límite.
Para demostrar que la longitud del arco es de hecho estrictamente mayor, elija cualquier punto de $c$ sobre el arco entre $a$$b$, y se nota que todo punto de secuencias con ancho de paso $<\epsilon$ tienen un punto intermedio $x_i$ cerca de $c$ (es decir: con $d(x_i,c)<\epsilon$). Por lo tanto, en el límite obtenemos que la longitud del arco de$a$$b$$\ge d(a,c)+d(c,b)>d(a,b)$, donde el último estricta desigualdad se deduce del hecho de que $c$ no está en el segmento de línea recta $ab$.
