número de representaciones irreducibles sobre campos generales

Question

Para un grupo finito, hay un número finito de representaciones irreducibles de números complejos. ¿Qué pasa si se cambia el campo por otros campos? ¿Como números reales, campo p-ádico, campo finito?

En particular, para un grupo de Galois (finito) sobre un campo p-ádico, y considerar una representación de Galois p-ádico. ¿Existen representaciones irreducibles finitas? Si las hay, ¿podemos realmente construir algún tipo de varieteis s.t. las representaciones geométricas (cohomología etale) procedentes de estas variedades son exactamente las irreducibles?

¿Y si sustituimos los grupos finitos por otros grupos? Digamos, grupos profinitos, o incluso grupos de Lie, grupos algebraicos con topologías no discretas?

Answer 1

La siguiente respuesta es para grupos finitos.

En la característica cero, el álgebra de grupo es semisimple, por lo que hay un número finito de representaciones simples. Estas representaciones corresponden a los bloques en la descomposición como producto de álgebras matriciales.

Esta es una forma de determinar el número: Comience con el campo $K$ , colindan con el $g$ raíces de la unidad ( $g = |G|$ ) para obtener $L$ y considerar el grupo de Galois $\Gamma_K=L/K$ . Este es un subgrupo del grupo multiplicativo de los enteros mod $g$ . Entonces $\sigma_t \in \Gamma_K$ correspondiente a $t \in (\mathbb{Z}/g\mathbb{Z})^*$ actúa sobre $G$ al elevar $x \in G$ a la $t$ -en la potencia. La dimensión del espacio de las funciones de clase constante en $\Gamma_K$ -orbits es el número de simples $K$ -representaciones.

En cuanto a la característica p, se trata de la teoría de la representación modular, El número de irreducibles es el número de $p$ -clases de conjugación regulares (donde $p$ -regular significa que el periodo es primordial para $p$ ), cuando el campo contiene el $g$ raíces de la unidad para $g$ el orden del grupo. Véase, por ejemplo, Serre Representaciones lineales de grupos finitos. Mi opinión es que debería ser cierto incluso sin el supuesto de que el campo sea lo suficientemente grande.

Answer 2

Si un grupo es finito, tiene un número finito de representaciones simples sobre cualquier campo. De hecho, en este caso el álgebra de grupo sobre el campo es artiniana, y esto es cierto para todas las álgebras artinianas.

Cuando la característica del campo divide el orden del grupo, la llamada "situación modular", estas representaciones finitas están muy lejos de la historia completa. Por ejemplo, si la característica es $p$ y el grupo es un $p$ -grupo, hay exactamente un módulo simple, pero mientras el grupo no sea cíclico, la categoría de representaciones es salvaje por lo que hay extraordinariamente numerosos otras representaciones indecomponibles.