Relaciones entre la curvatura y el área de las curvas planas cerradas simples.

Question

Dejemos que $\gamma$ sea una curva plana simple y cerrada. Sabemos que una curva con curvatura constante $\kappa$ trazará un círculo en el plano. El radio de este círculo es el inverso de su curvatura. Ahora, digamos que tenemos un límite inferior $L$ en la curvatura $\kappa(\gamma)$ de $\gamma$ . Entonces, intuitivamente, parece que la totalidad de $\gamma$ debe estar contenido en algún círculo de curvatura $L$ . Sin embargo, no puedo demostrarlo. Esto me lleva a preguntar lo siguiente:

Si $\gamma$ es una curva plana simple y cerrada con $\kappa(\gamma)$ limitado por debajo por alguna constante $L \in \mathbb{R}$ ¿Cómo es el radio mínimo de un círculo que contiene $\gamma$ relacionado con $\kappa(\gamma)$ ? En otras palabras, ¿qué límite (si lo hay) tiene $L$ lugar en la zona $A(\gamma)$ de $\mathrm{int}(\gamma)$ ?

Answer 1

Necesitamos dos ingredientes, el primero es el fórmula de la curvatura total $$ \int_C k(s)ds= 2\pi $$ para toda curva plana simple y cerrada $C$ . Aquí $k(s)$ es la función de curvatura. Si $k(s)\ge K>0$ para todos $s$ (No me gusta usar $L$ para un límite de curvatura), obtenemos $$ K L(C)\le \int_C k(s) ds=2\pi, $$ donde $L=L(C)$ es la longitud de $C$ . Así, $$ L\le \frac{2\pi}{K}. $$ El segundo ingrediente es el desigualdad isoperimétrica : $$ 4\pi A(C)\le L^2(C) $$ para toda curva plana simple y cerrada $C$ , donde $A(C)$ es el área delimitada por $C$ . (La igualdad se alcanza si y sólo si $C$ es un círculo redondo). Combinando esto, obtenemos: $$ A(C)\le \frac{L^2}{4\pi} \le \frac{4\pi^2}{4\pi K^2}= \frac{\pi}{K^2}. $$
Esta desigualdad es aguda, considere por ejemplo $C$ que es un círculo redondo. Lo contrario también es cierto: si se alcanza la igualdad entonces la curva es un círculo redondo.